Российский экономический

x
kr 
является долей производственной мощности, выделяемой для 
работы по 
r
-му варианту плана. Вся левая часть ограничения показывает, в ка-
ких пропорциях производственная мощность предприятия делится между ис-
ходными планами. 
Итак, в ограничениях вида (2.36) прослеживается процесс использования 
производственной мощности каждого предприятия, ее затрачивания, распреде-
ления между различными вариантами производства (т.е. различными варианта-
ми использования производственной мощности). 
Однако производственная мощность не обязательно должна быть исполь-
зована полностью. Отразить это обстоятельство можно, введя в число заданных 
вариантов вариант с нулевыми значениями 
a
ikr
,
a
jkr
и
p
kr
, т.е. вариант «макси-
мальной экономии ресурсов путем отказа от выпуска продукции» (вариант 
«ничего не делать»). Тогда, если данному варианту в решении соответствует 
дробное значение
 х
kr
, то мы имеем случай неполного использования производ-
ственной мощности. Если же для такого варианта 
х
kr 
равен единице, то данное 
предприятие нецелесообразно использовать. При подобной постановке ограни-
чение вида (2.36) фактически содержит в себе как ограничения вида (2.39), так 
и (2.40). 
Чаще используется другой прием: ограничения вида (2.36) заменяются на 
(2.38). Это позволяет в явном виде отразить возможности неполного использо-
вания производственной мощности. Разумеется, в этом случае среди вариантов 
отсутствует вариант «ничего не делать». Ограничения вида (2.38) относятся к 
типу обычных ограничений по использованию ресурсов, с той, однако, особен-
ностью, что объемы ресурсов даны не в абсолютных величинах, а в относи-
тельной. 
В окончательном виде модель с долями в качестве переменных будет со-
стоять из выражений (2.33) — (2.35), (2.38), (2.41). 
35

---

В этой модели ищется оптимальное значение не объемов, а структуры. От 
нее, в свою очередь, с помощью величин 
a
ikr
,
 a
jkr
и
 p
kr 
переходим к объемам ис-
пользования ресурсов, выпуска продукции и полученной прибыли.
Правомерна, однако, и постановка задачи оптимизации лишь структуры, 
безотносительно к объемам. К подобным задачам относится одна из двух раз-
новидностей так называемой задачи о смесях. 
Пусть осуществляется переработка многих видов сырья, каждый из кото-
рых обладает набором полезных (вредных) свойств, необходимых (нежелатель-
ных) для конечной продукции. Задача состоит в определении наиболее дешево-
го набора сырья, укладывающегося, однако, в ограничения по качеству смеси. 
Подобные задачи типичны для нефтепереработки, металлургии, животновод-
ства. 
Введем обозначения: 
j — 
индекс сырья (
j 
= 1, 2,...,
n
); 
i — 
индекс полезных (вредных) веществ или качеств, содержащихся в 
единице сырья; 
I
— множество индексов таких веществ или качеств (
i 

I
); 
I
1
— множество индексов полезных веществ или качеств (
I
1 

I
); 
I
2
— множество индексов вредных веществ или качеств (
I
2 

I
); 
b
i
— минимально (для
 i 

I
1
) или максимально (для
 i 

I
2
) допустимое со-
держание 
i
-го вещества или качества в единице смеси; 
a
ij — 
cодержание 
i
-го вещества или качества в единице 
j
-го сырья;
 
c
j
— cтоимость единицы
 j
-го сырья; 
x
j
— доля 
j
-го сырья в единице смеси, 
В принятых обозначениях модель задачи будет выглядеть так. 
Найти переменные 
x
j
, минимизирующие целевую функцию вида: 
∑
𝑐
𝑗
𝑥
𝑗
→ min
𝑛
𝑗=1
(2.42) 
при выполнении ограничений на качество смеси: 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≥ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (i 

𝐼
1
); 
(2.43) 
∑
𝑎
𝑖𝑗
𝑥
𝑗
≥ 𝑏
𝑖
𝑛
𝑗=1
, (i 

𝐼
2
) 
(2.44) 
по формированию структуры смеси: 
∑
𝑥
𝑗
= 1
𝑛
𝑗=1
(2.45) 
и неотрицательности переменных: 
𝑥
𝑗
≥ 0
, (
j 
= 1, 2,...,
n
). 
(2.46) 
В данной задаче минимизируется стоимость единицы (т, м
2
и т.д.) смеси. 
Очевидно, что при любых объемах переработки сырья и выпуска готовой про-
дукции, оптимальному плану будет соответствовать одна и та же структура 
смеси, т.е. соотношение в ней отдельных составных частей — видов сырья. 
Представление производственной мощности в целом как единицы весьма 
плодотворно. 
С одной стороны, это позволяет вводить ограничения по производствен-
ным мощностям и в тех случаях, когда выпускается существенно разнородная, 
трудно соизмеримая продукция, и производственную мощность невозможно 
выразить в явном виде единым показателем. Или, что то же самое, в случае не-
36

---

достатка необходимой информации. Например, пусть имеется производство 
трех видов продукции, измеряемой в штуках, тоннах и погонных метрах. Ис-
пользование в качестве единого измерителя для производственной мощности 
времени работы оборудования невозможно из-за многочисленности и разно-
родности его видов. Стоимостное выражение производственной мощности 
(максимум выпуска в рублях) неоднозначно при различных вариантах выпуска. 
Естественным выходом в этом случае является представление производствен-
ной мощности обобщенно, как безразмерной величины равной единице в пра-
вой части соответствующего ограничения, а также использование долей в каче-
стве переменных. 
С другой стороны, обобщенно представленная производственная мощ-
ность способна аккумулировать в себе все факторы производства, влияющие на 
выпуск продукции, и позволяет агрегированно описать всю область производ-
ственных возможностей (область допустимых планов) данного экономического 
объекта. 
При детализированном, подробном описании область допустимых планов 
формируется на основе совокупности всех ограничений по использованию ре-
сурсов и выполнению производственной программы для данного объекта. Для 
этого требуется знать как наличные объемы всех ресурсов, размеры заданий по 
выпуску, так и все нормы затрат и выпуска по всем возможным технологиче-
ским способам. 
В случае агрегированного представления производственной мощности 
возможен и иной способ построения области допустимых планов. В данном 
случае нам требуется набор линейно независимых (с различной структурой вы-
пуска) исходных планов (вариантов). Тогда любой допустимый план можно по-
лучить как линейную комбинацию исходных планов путем их взвешивания с 
долями в качестве весов. Это позволяет компактно, одним ограничением пред-
ставить объект без описания его внутренних подробностей. Последнее дает су-
щественные преимущества при моделировании взаимоотношений экономиче-
ских объектов различных уровней.