RosanovaPrakt indd

Ключевые формулы
189
Ключевые формулы
Для поиска количественных значений эффектов дохода и замещения, а также различных вариаций дохода и изменения потребительского излишка, нам прежде всего необходимы вспомнить формулы Маршаллианского и Хиксианского спроса. Маршалли- анский спрос является решением задачи максимизации полезности потребителя при наличии бюджетного ограничения. Хикси- анский спрос является решением задачи минимизации расходов потребителя для достижения заданного уровня полезности.
Напомним основные формулы этих видов спроса для разных типов предпочтений (табл. 6.1).
Таблица 6.1

Маршаллианский спрос	Хиксианский спрос
Стандартные предпочтения: U(X; Y) = X^aY^
Y м ^aI “(а + Р )РХ уМ Р^ “(a + P)PF	P p Ы IpJ a a F« = ^.fM^a+p.№ {^pr) UJ
Взаимозаменяемые товары: U(X; Y) = аХ + (3F
, „ a Рх 1. При — = — Р Ру
Т Р _ _f t у p p ^rx ^rx T P yM _ _j X_ _ X p p ^rY ^rY	X^й - ^ Y Px Px Py Py
ГУ 2. При Px > — ■ Д
X^м =0 ум _ I Py	X^й =0 ун _U P

190
Глава 6. Динамика равновесных состояний потребителя
Окончание табл. 6.1

Маршаллианский спрос	Хиксианский спрос
ГУ 3. При Рх<уРг
X^м = —	X^й =-
Рх	а
Y^M =0	о и а
Взаимодополняемые товары: U(X; F) = mm{aX; (3F}
уМ _ Р^	X^й--
Р Рх + aPY	а
Y^M - ^аI	у^11 - —
aPY + р Рх	Р

В точке оптимума потребителя Хиксианский и Маршаллиан- ский опросы равны:
Х^н(Р_х, P_Y, Х°, Y°) = X^м(Р_х, P_Y, I).
Найдем, каким образом будет изменяться Хиксианский спрос при изменении цены одного из товаров (например, цены единицы товара X) и неизменности остальных параметров:
дХ^_дХ^_ дХ^_ _Э7_ дР_х дР_х д I дР_х
„ , Э/ ЭЕ(Р_Х, P_Y, U)
Нам известно (лемма Шепарда), что -— = ^— = X.
^г'х ^г''х
Поэтому получаем окончательное выражение:
ЭХ^_дХ^_дХ^_ дР_х дР_х д I
дХ^и , „ ^ дХ^н
где общий эффект цены; эффект замещения;
дР_х дР_х
дХ^иу жж
X — эффект дохода.
ЭI
Это есть уравнение Слуцкого, которое характеризует поведение потребителя по отношению к разным видам товаров.
Ключевые формулы
191
На основе преобразования уравнения Слуцкого и линий бюджетного ограничения могут быть получены тождества эластичности.
1 F^Px = F^Px - F¹ ■ s ■
x ^х^И x x’
2. s_x ■ E*_x + s_Y ■ Ey = 1;
3. E_x^x • + E^Px • s_F = -s_x.
Тождества эластичности используются для нахождения неизвестных параметров рынка по известным. Например, сравнительно легко найти ценовую эластичность некомпенсированного спроса и эластичность спроса по доходу, однако фирмам для разработки ценовой стратегии часто необходимо знать ценовую эластичность компенсированного спроса, что можно определить, воспользовавшись первым из тождеств.
Более сложной версией, описывающей динамику расходов потребителя при изменении цены одного из товаров, является уравнение Слуцкого с учетом эффекта первоначального запаса.
Рассмотрим Маршаллианский спрос на товар X Так как индивид обладает первоначальным запасом товара X, то его дохода зависит от цены этого товара. Поэтому Маршаллианская функция спроса будет представлять собой сложную функцию:
Х[Р_х; 1(Р_Х)1
Найдем полный дифференциал этой функции:
dX\P_x: 1(Р_Х)\ дХ^м дХ^м д I
dP_x ~ д Р_х ⁺ д I д Р_х
Первое слагаемое представляет собой обычное уравнение Слуцкого для Маршаллианской функции спроса без учета запаса:
и
дх^м дх^н ЭХ Э P_Y д P_Y ()1
■X.
^Lx “Ч
Во втором слагаемом, по лемме Шепарда, так как 1(Р_Х) Ру) =
= Р_х ■ X^w + P_Y -Y^w, получаем
Э 1(Р_Х)
дР...
= X^w, а производная дохода
индивида по цене товара равняется первоначальному запасу данного товара.
Подставляем новые выражения для первого и второго слагаемого в исходное уравнение и получаем итог:
dX[P_x, 1(Р_Х)] dP_x
дГ
дР_х
дХ^м
д!
■(X-X^w).
192
Глава 6. Динамика равновесных состояний потребителя
Это есть уравнение Слуцкого для индивида, обладающего первоначальным запасом.
В данном уравнении:
дХ^! гг
— эффект замещения;
^г'х
—^— • 6 — обычный эффект дохода;
ЭI
дХ^м
■ X^w — эффект изменения стоимости первоначального запаса (эффект запаса).
Кроме того, для измерения динамики благосостояния потребителя вследствие роста или падения цены одного из товаров при неизменных прочих условиях рынка, используют вариации дохода и изменение потребительского излишка.
Компенсирующая вариация дохода (CV) показывает, насколько надо компенсировать потребителя при изменении цены товара, чтобы уровень его благосостояния не изменился.
Эквивалентная вариация дохода (EV) показывает, какой величиной дохода потребитель готов пожертвовать, чтобы цена товара для него не изменялась.
Существует строгое соответствие между абсолютными величинами этих вариаций для разных видов товаров и разной динамики цены:
•для нормальных товаров при росте цены товара: \CV\ >
|> |ДС5| > |£V|;
• для нормальных товаров при снижении цены товара: \CV\ < \<\ACS\<\EV\;
•для инфериорных товаров при росте цены товара: \CV\ < \<\ACS\<\EV\;
• для инфериорных товаров при снижении цены товара: \CV\ > \CV\>\ACS\>\1
Благосостояние потребителя может быть измерено также путем сопоставления индексов цен и индексов объемов продаж.
Общие правила здесь следующие (табл. 6.2).
Таблица 6.2

Индекс	Динамика благосостояния потребителя
Р >1 Я	Выросло
L <1 я	Упало

Графики
193
Окончание табл. 6.2

Индекс	Динамика благосостояния потребителя
Р >1 р т	Упало
L <1 р т	Выросло

В других случаях динамика благосостояния не выявлена.
УР¹ ■ Q*
Индекс цен Пааше: Р = _п .
г JpO.Qt
„ Ур‘ ■ Q!
Индекс объемов Пааше: Р = — .
^? YP ■ Q ур¹ • о⁰
Индекс цен Ласпейреса: L_p = _Q .
, УР° • &
Индекс объемов Ласпейреса: L = _Q -.
Q
Здесь P — цены товаров; Q — объемы покупок.
Индекс номинального дохода (индекс расходов) находится как отношение номинального дохода (стоимости расходов в текущих ценах) текущего периода к номинальному доходу базового
периода: М =
УР* ■ О*
ур°а°
или М =
У Р¹ Q¹
ур°а°
Таким образом, приведенные формулы помогут участникам рынка и аналитикам выявить последствия изменения цены для уровня благосостояния потребителя.
Графики
Базовые графики включают характеристики эффекта дохода и эффекта замещения по Слуцкому и по Хиксу, а также рисунки различных вариаций дохода.
Пусть набор потребителя представлен двумя товарами, X и У, а предпочтения индивида стандартны. Потребитель достигает первоначального максимума полезности U¹ в точке £) при первоначальном бюджетном ограничении BOj с исходной ценой Рf (рис. 6.1). Первоначальный оптимальный набор индивида состоит из объемов (Хр Уф.
194
Глава 6. Динамика равновесных состояний потребителя

Рис. 6.1. Эффект дохода и эффект замещения по Слуцкому
Предположим, цена товара X возрастает. Тогда набор в точке E_t становится недоступным для потребителя. Бюджетное ограничение поворачивается внутрь до уровня Б0₂. Если индивид по-прежнему максимизирует полезность, то его новый оптимум достигается в точке Е₂ с набором (Х₂; У₂). Уровень благосостояния потребителя снизится до кривой безразличия U₂. Эффект цены составит: ХХ° = Х_г> -Х_{ . Это прямой эффект цены. Однако, как мы видим на рисунке, повышение цены товара X вызвало изменения в потреблении не только данного товара, но и другого продукта, товара Y. Поэтому мы можем найти перекрестный эффект цены: AY^P = Y_r> -Y_r
Поставим теперь такую задачу: каким образом надо компенсировать потребителя, чтобы при новой цене товара X он мог по-прежнему покупать первоначальный набор E_t? Чтобы набор (Х{, Y_x) был ему доступен, несмотря на рост цены товара У? Очевидно, что индивиду необходимо предоставить дополнительный доход такой, чтобы новая линия бюджетного ограничения прошла через точку E_t. Новая линия бюджетного ограничения — на рис. 6.1 это линия БО_э — будет параллельна линии Б0₂, поскольку их углы определяются одним и тем же соотношением
р}'
цен, ——, новая цена товара X и исходная цена товара Y.
Таким образом, набор {Х{, 1^) оказывается доступным потребителю. Означает ли это, что точка E_t по-прежнему будет точкой оптимума для данного индивида? Нет. Как мы знаем, точка