Роль механики в подготовке будущего инженера-механика. Основные этапы развития механики

Сложение поступательных движений твердого тела
Пусть твердое тело одновременно участвует в двух мгновенно поступательных движениях, из которых одно является поступательным со скоростью v₁, второе - переносным со скоростью v₂(рис 2.73). Выделим какую-либо точку М тела. Найдем абсолютную скорость точки М
v_a = v_r + v_e = v₁ + v₂. (2.113)
Т ак как и относительное, и переносное движение твердого тела являются мгновенно поступательными, то относительные, переносные и, следовательно, согласно формуле (2.113), абсолютные скорости всех точек тела будут равны между собой в каждый момент времени (равны по величине и параллельны по направлению), т.е. абсолютное движение тела также является мгновенно поступательным.
Очевидно, что данный вывод применим к сложному движению твердого тела, состоящему из трех и более мгновенно поступательных движений, тогда в общем случае
. (2.114)
Итак, в результате сложения мгновенных поступательных движений твердого тела результирующее движение получается мгновенно поступательным.
Замечание. Мгновенно поступательное движение твердого тела отличается от поступательного тем, что при поступательном движении в каждый момент времени равны между собой скорости и ускорения всех точек тела, а при мгновенно поступательном движении в данный момент времени равны между собой только скорости всех точек тела.

66, 67 Сложение вращений вокруг параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением

с угловой скоростью   вокруг оси  , закрепленной на кривошипе   (рис.1а), а переносное – вращением кривошипа   вокруг оси  , параллельной  , с угловой скоростью  . Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной к осям.

Примем, что вращения направлены в одну сторону. Изобразим сечение   тела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 1 б). Следы осей в сечении   обозначим буквами   и  . Тогда   и  . При этом векторы   и   параллельны друг другу, перпендикулярны   и направлены в разные стороны. Тогда точка   является мгновенным центром скоростей  , а следовательно, ось  , параллельная осям   и  , является мгновенной осью вращения. Для определения угловой скорости   абсолютного вращения тела вокруг оси   и положения самой оси, т.е. точки  , воспользуемся свойством мгновенного центра скоростей
,
откуда
.
Подставив в эти равенства значения   и  , окончательно получим

		(1)
		(2)

Итак, при сложении двух направленных в одну сторону вращений вокруг параллельных осей результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной скоростью   вокруг мгновенной оси, параллельной данным, положение которой определяется пропорциями (2).
С течением времени мгновенная ось вращения   меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

Рассмотрим теперь случай, когда вращения направлены в разные стороны (рис.2).
Допустим, что  . Тогда, рассуждая, как в предыдущем случае, для угловой скорости   абсолютного движения тела вокруг оси   и положения самой оси, получим

		(3)
		(4)

Таким образом, при сложении двух направленных в разные стороны вращений вокруг параллельных осей, результирующее движение тела будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью   вокруг мгновенной оси, положение которой определяется пропорциями (4).
Заметим, что в этом случае точка   делит расстояние между параллельными осями внешним образом.
Рассмотрим частный случай, когда вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны, но по модулю   (рис.3).

Такая совокупность вращений называется парой вращений, а векторы   и   образуют пару угловых скоростей. В этом случае получим   и  , то есть   =  . Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости  .
Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным (или мгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равной   и направленной перпендикулярно плоскости , проходящей через векторы   и   . Таким образом, пара вращений эквивалентна мгновенно поступательному движению со скоростью  , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.
Примером пары угловых скоростей является движение велосипедной педали   относительно рамы велосипеда (рис.4).

Это движение представляет собой совокупность переносного вращения вместе с кривошипом   вокруг оси   и относительного вращения педали по отношению к кривошипу вокруг оси  . Педаль   за все время движения остается параллельной своему первоначальному положению, т.е. совершает поступательное движение.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Кривошип   вращается вокруг оси   по часовой стрелке с угловой скоростью  , а диск радиуса   вращается вокруг оси   по часовой стрелке с той же угловой скоростью   относительно кривошипа. Найти величину и направление абсолютных скоростей точек   и   (рис.5).

Решение. Так как угловые скорости переносного и относительного вращений равны по модулю и направлены в одну сторону, то мгновенный центр вращений   диска лежит посредине между   и  , т.е.  . Модуль абсолютной угловой скорости   вращения диска вокруг точки   равен  . Отсюда находим:
,  ,
,  .

Пример 2. Кривошип   вращается вокруг оси   с угловой скоростью  . На палец   кривошипа свободно насажена шестерня радиуса  , сцепленная с неподвижным зубчатым колесом радиуса  . Найти абсолютную угловую скорость   шестерни и ее угловую скорость   относительно кривошипа (рис.6).
Решение. Так как шестерня сцеплена с неподвижным колесом, то абсолютная скорость точки   зацепления шестерни с этим колесом равна нулю, т.е. точка   является для шестерни мгновенным центром вращения. Отсюда   или  ,
откуда
.
Заметим, что направление вращения шестерни совпадает с направлением вращения кривошипа.
Тогда абсолютную угловую скорость шестерни находим из равенства

или
.