Rn фазода векторлар устида чизиқли амаллар. Векторларнинг чизиқли боғлиқлиги

2-Мавзу: n ўлчовли арифметик фазо.

Rⁿ фазода векторлар устида чизиқли амаллар. Векторларнинг чизиқли боғлиқлиги.
Векторларнинг скаляр кўпайтмаси. Икки вектор орасидаги бурчак. Кесмани берилган нисбатда бўлиш.

1. 
   n ўлчовли векторлар. Чизиқли боғлиқлиги.
   

n та ҳақиқий сондан тузилган тартибланган системаларни қараймиз. n та сондан тузилган система тартибланган деганда бу системани тузувчи сонлар номерланган деб тушунамиз.

1. 
   Таъриф. n та соннинг тартибланган ушбу
   


а  ( х₁ ,
х₂ ,..., х_n )

^{системаси n ўлчовли вектор дейилади. х}1^{, х}2^{, ..., х}n ^{cонлар векторнинг координаталари деб аталади.}

2. 
   Таъриф. Барча координаталари нолга тенг бўлган вектор ноль вектор деб аталади ва
   


0  (0, 0,...,0)
билан белгиланади.

3. 
   ^{Таъриф.(-х}1^,-х2^,...,-хn^{) вектор}
   


а  ( х₁ ,
х₂ ,..., х_n ) ^{векторга қарама-қарши вектор деб}

а  ( х₁ ,  х ,..., х )_{2 n}
аталади ва _  билан белгиланади.



4. 
   ^{Таъриф.Иккита}  ( х , х
   

,..., х

) ^ва


b  ( y , y
,..., y
⁾ векторнинг мос

^а 1 2 n
1 2 n

^{координаталари тенг, яъни х}i^=yi

(i  1, n)

бўлса, бу векторларни тенг деб аталади:



а  b

n ўлчовли векторлар устида чизиқли амалларни киритамиз.

5. 
   
   
   Таъриф.Иккита ва  векторнинг йиғиндиси деб янги
   

  

а  ( х₁ ,
х₂ ,..., х_n )
b  ( y₁ , y₂ ,..., y_n )

с  а b  (x₁  y₁ , x₂  y₂ ,..., x_n  y_n )
векторга, уларнинг айирмаси деб,

  
d  а b  (x₁  y₁ , x₂  y₂ ,..., x_n  y_n ) ^{векторга айтилади.}

6. Таъриф.



а  ( х₁ ,
х₂ ,..., х_n )
векторнинг  сонга кўпайтмаси деб,

 а  (х₁ , х₂ ,..., х_n ) векторга айтилади.

7. 
   Таъриф. Қўшиш ва сонга кўпайтириш амаллари аниқланган барча n ўлчовли векторлар тўплами арифметик вектор фазо деб аталади ва Rⁿ билан белгиланади.
   

   

  

8. 
   Таъриф.Ушбу ^{а  }₁ ^{а1  }₂ ^{а 2      }_m ^am
   

вектор
^a1 ^{, a} 2 ^{,..., a}m
векторларнинг

^1^,2^,...,m ^{коэфффициентли чизиқли комбинацияси дейилади.}

   

9. 
   ^{Таъриф. Агар }₁ ^{а1  }₂ ^{а 2  ...  }_m ^{аm  0 тенгликдан }1^=2^=...=m^{=0 экани келиб чиқса, у ҳолда}
   

     

^а1 ^{, а} 2 ^{,..., а}m ^{векторлар чизиқли эркли дейилади. Акс ҳолда а} 1 ^{, а} 2 ^{,..., а}m
векторлар чизиқли

боғлиқ дейилади.

1-Мисол.



^а1 ^{ (1, 1, 1),}


^а 2 ^{ (1, 2,}
3),

^а 3 ^{ (1, 3, 6)}
векторлар системасининг чизиқли

эркли эканлигини кўрсатамиз.

   

Шу мақсадда қуйидаги тенгликка мурожаат қиламиз
^₁ ^а1 ^{ }₂ ^а 2 ^{ }₃ ^а 3 ^{ 0}

₁  (1, 1, 1)  ₂  (1,

2, 3)  ₃  (1, 3, 6)  0


(₁ , ₁ , ₁ )  (₂ , 2 ₂ , 3₂ )  (₃ , 3 ₃ , 6 ₃ )  0

ҳосил бўлади, бундан
(₁  ₂  ₃ ;
₁  2 ₂  3₃ ;

₁  3 ₂  6 ₃ )  0

^₁ ^{ }₂ ^{ }₃ ^{ 0
}  2  3  0
^ 1 2 3
^  3  6  0
 ^{1 2 3}

  

^{келиб чиқади. Бу системани ечиб, }1^{=0, }2^{=0, }3^{=0 натижага эга бўламиз. Бундан} векторлар системасини чизиқли эркли эканлиги келиб чиқади.
1-Теорема. Rⁿ фазода n та чизиқли эркли n ўлчовли векторлар мавжуд.
Исботи. Ушбу n ўлчовли
^а1 ^{, а} 2 ^{, а} 3


^е 1 ^{ (1, 0, 0,...,0),}

^е 2 ^{ (0, 1, 0,...,0),...,}

^е n ^{ (0, 0, 0,...,1)}

векторларни қараймиз ва уларнинг чизиқли эрклилигини, яъни

   

^₁ ^e 1 ^{ }₂ ^e 2 ^{ ...  }_n ^e n ^{ 0}
тенглик ёки

₁  (1, 0, 0,...,0)  ₂

 (0, 1, 0,...,0, 0)  ...  _n (0, 0, 0,...,0,1)  0
^{тенглик фақат }1^=2^=...=n⁼⁰

бўлгандагина ўринли бўлишини кўрсатамиз. Бу ердаги сўнгги тенглик берилган векторларнинг координаталари учун ушбу n та тенглик системасига тенг кучлидир:
^₁ ^{1  }₂ ^{ 0  ...  }_n ^{ 0  0
}  0   1  ...    0  0
^ 1 2 n

^  0    0  ...  

1  0

 1 2 n

  

^{Бу ердан }1^=2^=...=n^{=0 эканлиги келиб чиқади, яъни}

^е 1 ^{, е} 2 ^{,..., еn}
векторлар чизиқли эрклидир.

2-Теорема. R вектор фазода исталган n+1 та вектор чизиқли боғлиқдир.
Исботи. Ушбу n+1 та векторни қараймиз:

  
^à1 ^{ (õ(1), õ(1),..., õ(1) ), à}2 ^{ (õ(2), õ(2),..., õ(2) ),..., à}n ^{ (õ(n), õ(n),..., õ(n) ),}

1 2 n

1 2 n
1 2 n

^àn1 ^{ (õ(n1) , õ(n1) ,..., õ(n1) )}
1 2 n

ва

    

^{1 а}1 ^{  2 а} 2 ^{ ...   n а} n ^{  n1 an1  0}
(1)

^{тенглик }i ^{ларнинг орасида нолга тенг бўлмаганлари ҳам мавжуд бўлган шартда ўринли бўлиши} мумкинлигини кўрсатамиз. (1) муносабат берилган векторларнинг координаталари учун ушбу n та тенглик ситемасига тенг кучлидир:

^ х⁽¹⁾   х⁽²⁾  ...  

_х(n) _{  х}(n1) _{ 0}

_ 1 1 2 1
n 1 n1 1

_ х⁽¹⁾   х⁽²⁾  ...  

_х(n) _{  х}(n1) _{ 0}

_ 1 2 2 2
n 2 n1 2
(2)

_. . . . . . . . . . . . . . . . . .

^ х⁽¹⁾   х⁽²⁾  ...  
_х(n) _{  х}(n1) _{ 0}

 1 n 2 n
n n n1 n

^{(2) тенгликлар системасини n+1 та }1^{, }2^{,... }n^{, }n+1 ^{номаълумли n та тенглама системаси сифатида} қараш мумкин. (2) системада тенгламалар сони номаълумлар сони-дан кичик бўлгани учун бу система нолмас ечимларга эга.
^{Шундай қилиб, биз (1) тенглик }i ^{ларнинг орасида нолга тенг бўлмаганлари ҳам бўлганда}
   

бўлиш мумкинлигини кўрсатдик, бу эса билдиради. 
^а1 ^{, а} 2 ^{,..., а} n ^{, a} n1
векторлар чизиқли боғлиқлигини

1- ва 2 -теоремалардан Rⁿ фазодаги чизиқли эркли векторларнинг максимал сони n га тенг бўлиши келиб чиқади.

10. 
    Таъриф. Вектор фазодаги чизиқли эркли вектор-ларнинг максимал сони бу фазонинг ўлчами деб аталади.
    

Шундай қилиб, Rⁿ фазо n ўлчамга эга, шу сабабли у n ўлчовли арифметик вектор фазо деб аталади. Хусусан, текислик векторлари тўплами икки ўлчовли арифметик вектор фазо R² ни ҳосил қилади; фазо векторлари тўплами эса уч ўлчовли арифметик вектор фазо R³ ни ҳосил қилади.

10. 
    Таъриф. n ўлчовли вектор фазонинг базиси деб, бу фазонинг n та чизиқли эркли векторидан иборат исталган тўпламга айтилади.
    

Rⁿ фазонинг базисларидан бири ушбу векторлар бўлади:


^е 1 ^{ (1, 0, 0,...,0),}

^е 2 ^{ (0, 1, 0,...,0, 0),...,}

^е n ^{ (0, 0, 0,...,0, 1).}

n ўлчовли вектор фазонинг ҳар қандай вектори унинг базиси векторларининг чизиқли комбинацияси кўринишида ягона равишда ифодаланиши мумкин:

   

^{а  }₁ ^а1 ^{ }₂ ^а 2 ^{ ...  }_n ^а n
(3)


^1^,2^,...,n ^{сонлар бу векторнинг берилган базисдаги координа-талари деб аталади,(3) тенглик эса а}
  
векторнинг _{а1, а 2 ,..., а n} базис бўйича ёйилмаси деб аталади.

2. Скаляр кўпайтма. Икки вектор орасидаги бурчак.

 

10. 
    Таъриф. Иккита а ва b векторнинг скаляр кўпайтмаси деб, бу векторлар узунлик-ларини улар орасидаги бурчак косинусига кўпайтмасига тенг бўлган сонга айтилади.
    

   

a b  a  b cos 
(4)

Координаталари билан берилган векторларни скаляр кўпайтмасини киритамиз.


a  (x₁ , x₂ ..., x_n ),

b  ( y₁ , y₂ ..., y_n )

векторлар учун скаляр кўпайтма деб

 
a b  x₁  y₁  x₂  y₂  ...  x_n y_n
сонга айтилади. Скаляр кўпайтма қуйидаги хоссаларга эга:

(5)

   

1⁰.
а b  b а
(ўрин алмаштириш хоссаси);

2⁰.



b
(a