Rn фазода векторлар устида чизиқли амаллар. Векторларнинг чизиқли боғлиқлиги

Тўғри чизиқнинг йўналтирувчи вектори. Тўғри чизиқнинг каноник тенгламаси.

^{ОХУ текисликда ихтиёрий  тўғри чизиқни қараймиз. Унинг ҳолати бирорта М}1^(х1 ^{; у}1⁾
нуқтасининг ва берилган тўғри чизиққа параллел бўлган ёки шу тўғри чизиқда ётадиган

^  

S  mi  nj
^{векторнинг берилиши билан тўла аниқланади. Бу вектор}  ^{тўғри чизиқнинг}

^{йўналтирувчи вектори дейилади. (2-расм). Айтайлик, М(х;у) бу}  ^{тўғри чизиқнинг ихтиёрий нуқтаси}
  ^{  }

бўлсин.
М₁М  (x  x₁ )i  ( y  y₁ ) j ва S  mi  nj
векторлар коллинеар бўлгани учун уларнинг

проекциялари пропорционал:


x  x_{1 } y  y₁
(4)

m n

2. 
   расм
   

Ҳосил қилинган тенгламани  тўғри чизиқ исталган М(х;у) нуқтасининг координатаси қаноатлантиради. У тўғри чизиқнинг каноник тенгламаси дейилади.
^{Агар М}1^(х1^{; у}1^{) нуқтадан ўтувчи  тўғри чизиқ ОУ ўққа параллел бўлса, унинг тенгламаси х=х}1

^{кўринишда бўлади. Унинг йўналтирувчи вектори} S ^{ҳам бу ўққа параллел, демак, ОХ ўқдаги}
проекцияси m нолга тенг. Бироқ бу ҳолда ҳам тўғри чизиқнинг каноник тенгламасини формал равишда
x  x_{1 } y  y₁
o n

кўринишда ёзишга келишамиз. Шунга ўхшаш ОХ ўққа параллел тўғри чизиқ тенгламаси

x  x_{1 } y  y₁

кўринишда ёзилади.

m 0

4. Берилган нуқтадан берилган йўналиш бўйича ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси. Тўғри чизиқлар дастаси

ОХУ текисликда ОХ ўқни М нуқтада кесиб ўтувчи ℓ тўғри чизиқ берилган бўлсин (3-расм). ОХ ўқ билан ℓ тўғри чизиқ орасидаги  бурчак деб, ОХ ўқни М нуқта атрофида соат стрелкасига қарама- қарши йўналишда ҳаракатлантириб, унинг тўғри чизиқ билан устма-уст тушгунча бурилган энг кичик бурчакка айтилади. Агар тўғри чизиқ ОХ ўқ билан устма-уст тушса ёки унга параллел бўлса  бурчак нолга тенг ҳисобланади.

2. 
   расм.
   

^  ₀
ОХУ текисликда ОУ ўққа параллел бўлмаган ℓ тўғри чизиқни қарайлик. Унинг ҳолати ОХ ўқ билан ℓ ^{тўғри чизиқ орасидаги  бурчак ва шу тўғри чизиқда ётган М}1^(х1^{; у}1^{) нуқта берилиши билан тўла} аниқланади. Йўналтирувчи вектор сифатида ℓ тўғри чизиқ каби ОХ ўқ билан  бурчак ташкил
^{қиладиган} S  cos i  cos  j ^{бирлик векторни оламиз.
} ₀  
Равшанки, cos=sin (4-расм) бўлгани учун S  cos i  sin  j . Шунинг учун (4)

тенгламада m=cos, n=sin деб олиш керак; у ҳолда тенглама қуйидаги шаклда ёзилади:
x  x_{1 } y  y₁
cos sin 
(5)

3. 
   расм
   

^{Бу тенгламани у-у}1 ^{га нисбатан ечиб, у-у}1^=tg(x-x1^{)ни ҳосил қиламиз. tg=k деб белгилаймиз. У} ҳолда охирги тенглама қуйидаги
^у-у1^=к(x-x1^{) ( 6)}
кўринишга эга бўлади. к=tg га тўғри чизиқнинг бурчак коэффициенти дейилади.

6. 
   тенглама берилган нуқтадан берилган йўналиш бўйича ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси дейилади.
   

^{1-Мисол. М}1^{(-2; 3) нуқтадан ўтиб, ох ўқ билан} тенгламасини тузинг.
  ^{бурчак ҳосил қиладиган тўғри чизиқ}


6

Ечилиши: Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентини топамиз:

k=tg=tg ^ _
6
³ . (6) формула бўйича изланаётган
3

y-3=
³ (x+2) ёки
3

x-3y+9+2 =0

тенгламани ҳосил қиламиз.


^{Агар М}1^(х1^{; у}1^{) нуқта орқали ўтувчи чизиқ ОУ ўққа параллел бўлса}


_{( } ^ ₎ , унинг учун
2

бурчак коэффициент k=tg аниқланмаган бўлади ва тўғри чизиқ тенгламасини (6) кўринишда ёзиб ^{бўлмайди. Бу ҳолда у х=х}1 ^{кўринишда бўлади.}
Текисликдаги бирорта М нуқта орқали ўтувчи тўғри чизиқлар тўплами тўғри чизиқлар дастаси дейилади, М нуқта эса дастанинг маркази дейилади.
^{Фараз қилайлик, (6) тенгламада М}1^(х1^{; у}1^{) нуқтанинг координаталари ўзгармасдан қолсин, бурчак коэффициент k турли қийматларни қабул қилсин. У ҳолда k нинг ҳар бир сон қийматига М}1 ^{нуқтадан ўтадиган тўғри чизиқ тўғри келади. Аксинча М}1 ^{нуқта орқали ўтувчи ихтиёрий тўғри чизиқ (абсциссалар ўқига перпендикуляр бўлган х=х}1 ^{тўғри чизиқдан ташқари) тўла аниқланган k} бурчак коэффициентга эга бўлади, демак, (6) кўринишдаги тенглама билан аниқ-ланади. Шундай ^{қилиб, (6) тенглама k ихтиёрий қийматларни қабул қилганда маркази М}1^(х1^{; у}1^{) нуқтада бўлган тўғри чизиқлар дастасини (х=х}1 ^{тўғри чизиқни ҳисобга олмаганда) аниқлайди.}

5. Тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси.

Айтайлик, ОХ ўқ билан  бурчак ташкил қиладиган тўғри чизиқ (5-расм) ОУ ўқни В (0; b)
^{нуқтада кессин. (6) формулада х}1^{=0, у}1^{=b деб олиб, бу тўғри чизиқнинг тенгламасини тузамиз:}
у-b=k(х-0) ёки у=kх+b (7)

ни ҳосил қиламиз. (7) тенглама тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламаси дейилади.

Хусусий ҳолларни қарайлик. Агар b=0 бўлса (7) тенглама у=kх (8) кўринишни олади.

5-расм.
Бу ҳолда тўғри чизиқ коoрдинаталар бошидан ўтади.

6. 
   тенгламада k=tg=0 бўлганда, (=0) у=b (9) ҳосил бўлади. Бу ОХ ўқига параллел тўғри чизиқ тенгламасидир. Агар k=0, b=0 бўлса, ОХ ўқининг тенгламасини ҳосил қиламиз: у=0.
   

Агар ОХ ўқига перпендикуляр бўлмаган тўғри чизиқ Аx+Вy+С=0 тенглама билан берилган бўлса, бу тенгламани у га нисбатан ечиб, тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламасини ҳосил қиламиз:

y   ^A x  ^C ,

10. 
    бу ерда k=- ^A ,
    

C
b=- .

B B ^{B B}


2-Мисол. Тўғри чизиқнинг умумий тенгламаси

2х-2у+3=0 берилган. Бу тўғри чизиқ ОУ ўқидан кесадиган кесмани ва ОХ ўқи билан бу тўғри чизиқ орасидаги бурчакни топинг.
Ечилиши: Берилган тенгламани у га нисбатан ечиб, тўғри чизиқнинг бурчак коэффициентли тенгламасини ҳосил қиламиз: у=х+1,5; бу ерда k=tg=1, b=1,5. Шундай қилиб, тўғри чизиқнинг ординаталар ўқидан кесган кесмаси 1,5 га тенг, ОХ ўқ билан берилган тўғри чизиқ орасидаги 
бурчак ^ га тенг.
4

5. Берилган икки нуқта орқали ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси.

^{Текисликда иккита М}1 ^(х1^{; у}1^{) ва М}2 ^(х2^{; у}2^{) нуқта берилган бўлсин. Бу нуқталар орқали}

^{ўтувчи тўғри чизиқнинг каноник тенгламасини тузамиз. Унинг йўналтирувчи} S ^{вектори сифатида}

M₁M ₂
векторни оламиз. У ҳолда

^  ^
S  M₁M ₂  (x₂  x₁ )i  ( y₂  y₁ ) j


^m=x2^-x1^{, n=y}2^-y1 ^{да (4) формуладан фойдаланиб}

x  x₁ x₂  x_1
 y  y₁ y₂  y₁

10. 
    га эга бўламиз.
    

11. 
    тенглама берилган икки нуқта орқали ўтувчи тўғри чизиқ тенгламаси дейилади.
    

^{3-Мисол М}1^{(2;-3) ва М}2^{(-4,7) нуқталардан ўтган тўғри чизиқ тенгламаси тузилсин.
Ечилиши. (11) формулада х}1^{=2, у}1^{=-3, х}2^{=-4, у}2^{=7 деб олиб,}

x  2

 4  2

_ y  3 7  3


ёки


_{5х  3у 1  0} ни ҳосил қиламиз.

5. Икки тўғри чизиқ орасидаги бурчак

М нуқтада кесишадиган _1 ва _{ 2} тўғри чизиқлар мос равишда у=k₁х+b₁, у=k₂х+b₂ тенгламалар билан аниқлансин. Бу тўғри чизиқлар орасидаги  бурчакнинг тангенсини топамиз. (6-расм). Биз бу тўғри чизиқлар бир-бирига перпендикуляр эмас деб фараз қилишимиз керак, акс ҳолда tg мавжуд

бўлмас эди.
_1 тўғри чизиқ абсциссалар ўқи билан ₁ бурчакни,
_{ 2} тўғри чизиқ эса ₂ бурчакни

ташкил қилсин. _1 ва ўтказиб, кўрамизки,
_{ 2} тўғри чизиқ кесишадиган М нуқта орқали ОХ ўққа параллел тўғри чизиқ

^2 ^=1 ^{+  ёки =}2^-1^{, демак,}

tg  tg(
  ) 
tg₂  tg₁

1
^{2 1} 1 tg
 tg₂

^{Бироқ, tg}1^=k1^{, tg}2^=k2^{, шунинг учун}

tg 
k₂  k₁
1 k₁  k₂

(12)

6-расм.

Бу формула икки тўғри чизиқ орасидаги бурчакни топиш формуласидир.
Агар _1 ва _{ 2} тўғри чизиқлар бир-бирига параллел бўлса, бу ҳолда ₁ =₂ ёки tg₁= tg₂ ёки
^k1^=k2 ⁽¹³⁾
Буни (12) формуладан ҳам ҳосил бўлишини кўриш осон. Аксинча, агар (13) тенглик ўринли бўлса, у ҳолда бу тенгликдан ₁ =₂ экани келиб чиқади, яъни _1 ва _{ 2} тўғри чизиқлар параллел.
Шундай қилиб, _1 ва _{ 2} тўғри чизиқларнинг бир-бирига параллел бўлиши учун k₁=k₂ бўлиши зарур ва етарлидир. (13) тенгликни икки тўғри чизиқнинг бир-бирига параллелик шарти деб юритилади.

Агар _1 ва _{ 2} тўғри чизиқлар бир-бирига перпендикуляр бўлса, = ₂ ва ₂=₁+ тенгликка мувофиқ.


^tg2^=tg(
+1^)=-ctg1 ^{ёки tg}1 ^{ tg}2^{=-1 ёки}

2

^k1^k2^{=-1 (14)}

Шундай қилиб, (14) тенглик икки тўғри чизиқни перпендикуляр бўлишининг зарурий ва етарли шартини ифодалайди.

4. 
   мисол. _{y } ¹ _{x  3} ва у=3х+8 тўғри чизиқлар орасидаги бурчак топилсин.
   

2

Ечилиши. Берилган тўғри чизиқларни бурчак коэффициентлари _k1
 ¹ ,
2
k₂  3

11. 
    формулага
    

кўра tg=

3  ¹
2
1

 1,
демак, = ^ .

4

1   3
2

4. 
   мисол. (2;-5) нуқтадан ўтиб, 4х-3у+1=0 тўғри чизиқ билан 45⁰ бурчак ҳосил қилувчи тўғри чизиқ тенгламаси тузилсин.
   

Ечилиши. (2;-5) нуқтадан ўтган тўғри чизиқлар дастасининг тенгламаси у+5=k(х-2)
Бу тўғри чизиқлар орасидан 4х-3у+1=0 билан 45⁰ бурчак ташкил қилувчи тўғри чизиқни ажратиб олишимиз керак. Икки тўғри чизиқ орасидаги бурчакни топиш формуласига кўра (бурчакни изланаётган тўғри чизиқдан бошлаб ҳисобласак)

^{4  k} 4 4 ₁

tg45⁰= ³ =1 ёки (1+ k )=  k
^{бундан k=} .

_{1  4 k} 3 3 7
3
Буни тўғри чизиқлар дастасининг тенгламасига қўямиз:

1

у+5=

7

(х-2) ёки х-7у-37=0

Агар бурчак берилган тўғри чизиқдан бошлаб ҳисобланса
k  ⁴

tg45⁰= ³ _{ 1,}
1  ⁴ k
3
k  7
ва 7х-у-19=0.

Шундай қилиб, масаланинг иккита ечими бор экан.

5. Нуқтадан тўғри чизиқгача бўлган масофа.

^{ОХУ текисликда Ах+Ву+С=0 тўғри чизиқ ва М}0^(х0^:у0^{) нуқта берилган бўлсин. М}0 ^{нуқтадан берилган тўғри чизиқгача бўлган d масофани топамиз. М}о ^{нуқтадан тўғри чизиққа туширилган перпендикулярнинг асосини М}1^(х1^:у1^{) орқали белгилаймиз (7-расм).}

d
Изланаётган d масофа бу перпендикулярнинг узунлигига, яъни ^ векторнинг модулига
тенг;
^  
d  M₁M ₀  (x₀  x₁ )i  ( y₀  y₁ ) j
7-расм. _{  }

Бу вектор билан берилган тўғри чизиқ N  Ai  Bj

нормал векторнинг скаляр

кўпайтмасини қарайлик. Бир томондан скаляр кўпайтманинг таърифидан

N

d

N

d cos
^ _ ^ _ ^ _ ^ _ га эгамиз, бунда -кўпайтирилаётган векторлар орасидаги бурчак. Бу
векторлар коллинеар бўлганлиги учун улар орасидаги бурчак нолга ёки  га тенг; шунинг учун сos=1. Шундай қилиб
 ^  ^
N  d   N  d   N d.. (15)

Иккинчи томондан, иккита векторнинг скаляр кўпайтмаси уларнинг бир исмли проекциялари кўпайтмаларининг йиғиндисига тенг:

^  ^  A(x  x )  B( y  y )  Ax  By  (Ax  By ) ^.

^{N d} 0 1
0 1 0 0 1 1

^{Бироқ М}1^(х1^;у1^{) нуқта берилган тўғри чизиқда ётади. Шунинг учун унинг координаталари бу тўғри чизиқнинг тенгламасини қаноатлантиради: Ах}1^+Ву1^+С=0.

^{Бундан Ах}1^+Ву1^{=-С. Буни ҳисобга олиб, қуйидагига эга бўламиз:}

^  ^  Ax  By  C

(16)

^{N d} 0 0

(15) ва (16) формулаларни таққослаб, қуйидагига эга бўламиз:



N d  Ax₀  By₀  C,

бундан

_{d  } Ax₀  By ₀  C _.
^ _  

бўлганидан

N Ai  Bj 

_{d  } Ax₀  By₀  C
ёки d 
(17)

(17) га нуқтадан тўғри чизиққача бўлган масофани топиш формуласи деб аталади.

4. 
   Мисол. Учбурчак ўзининг А(2;5), В(5;-1) ва С(8;3) учлари билан берилган. Унинг А учидан туширилган баландлигининг узунлигини топинг.
   

Ечилиши. Икки В(5;-1) ва С(8;3) нуқта орқали ўтувчи тўғри чизиқ тенгламасини топамиз:

х  5 _ у  1
ёки
4х  3у  23  0

8  5 3  1

Баландликнинг изланаётган узунлигини (17) формуладан А(2;5) нуқтадан ВС тўғри чизиққача бўлган масофа сифатида топамиз:

d   ³⁰  6
5