Riss teoremasi

Soxotskiy formulalari. [10] .Ushbu
_{Фz } 1 _ d

2i
Г
  z

Koshi tipidagi integralni tekshiramiz, bundagi
  
Gyol’der shartini qanoatlan-

tiradigan funksiya bo’lsin. ^Ã ni yopiq egri chiziq deb hisoblaymiz, aks holda uni biror egri chiziq bilan yopiq egri chiziqqacha to’ldirib, to’ldiruvchi chiziqda

0
   0 deb hisoblashimiz mumkin. Ô z  analitik funksiyaning chegaraviy qiymat-

larini mos ravishda
Ф^  ₀ 
va Ф^  ₀ 
bilan belgilaymiz. Bundagi
Ô ^  

miqdor
^{Ô z  ning} z ^{nuqta à ning ichida yotib konturdagi  0}
nuqtaga intilgandagi

limiti bo’lib,

Ф^  ₀ 
^esa z ^{nuqta kontur tashqarisidan  0}

nuqtaga intilgandagi

limitidir (kontur ochiq bo’lsa, ular chap va o’ng chegaraviy qiymatlarga mos

keladi).

Koshi tipidagi integralning  ₀
nuqtadagi qiymatni Ф ₀  bilan belgilaymiz, ya’ni

Ф
_{ } 1  d _.

⁰ 2i ^ 
Г
  ₀

Ô z  funksiyani quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:

_{Фz } 1 _ d



_ 1 _^{    0 }



_{ } ^{ 0 } _ d

(1.2.5)

2i
Г
  z
2i
Г
  z ^d
2i
  z
Г

(1.2.5) ning o’ng tomonidagi birinchi integralning
    ₀ 

z   ₀
dagi limiti

0
^   
Г
d ,

ikkinchisi esa ^z nuqta konturning ichida yoki tashqarisida yotishiga qarab,

2i
yoki 0 ga teng. Bularni e’tiborga olib, (1.2.5) formulada
z   ₀
deb limitga

d
o’tsak, ushbu

Ф^ 
_{ } 1
    ₀ 

   ;

Ф^ 
_{ } 1
    ₀  _

⁰ 2i ^
Г
   ₀ ^0
0 2i ^
Г
d
   ₀

tengliklarga ega bo’lamiz. [20].
Bu formuladagi integralning o’rniga uning yuqoridagi qiymatini olib kelib qo’ysak, quyidagi formulalarni hosil qilamiz:

Ф ^ 
₀   Ф ₀
  ¹  ,
₂ 0
Ф ^  ₀
  Ф ₀
  ¹  .
₂ 0
(1.2.6)

(1.2.6) formulalarni birinchi marta 1873-yilda rus matematigi Yulian Vasilevich Soxotskiy isbot qilgan. Shuning uchun ham bu formulalar Soxotskiy nomi bilan yuritiladi. [10].

1.3-§. Koshi tipidagi integralning Koshi integral formulasiga aylanish shartlari.
1.3.1-teorema. Faraz qilaylik φ Gyolder shartini qanoatlantirsin. U holda

Koshi tipidagi integral Koshi integraliga aylanishi uchun
^ (z)  0
shartning

bajarilishi zarur va yetarli [7]. [10] da φ funksiyaga Gyolder sharti Soxotskiy formulasini isbotlash uchun qo`yilgan. [22].

Teoremani isbotlashda quyidagi tengliklardan foydalanamiz:

^ ( )  ^ ( )  ( ),
lim ^ (z)  ( ),
z
 
 
(1.3.1)

(1.3.2)

Isbot. Zaruriyligi. φ Gyolder shartini va (1.3.2) shartni qanoatlantirsin.

(1.3.2) shartdan (1.3.1) ga asosan
^ ( )  0
ekanligi kelib chiqadi. Analitik

davom ettirishning yagonaligiga ko`ra esa
^ (z)  0 ekanligi kelib chiqadi.

Yetarliligi.
 ( )
Г da Gyolder shartini va
^ (z)  0
shartlarni

qanoatlantiradi. Bundan darhol
^ ( )  0
ekanligini ko`rishimiz mumkin. U

holda (1.3.1) dan (1.3.2) kelib chiqadi.

1.3.2-teorema. Faraz qilaylik φ - Gyolder shartini qanoatlantirsin. U holda Koshi tipidagi integral Koshi integraliga aylanishi uchun quyidagi momentlar shartining bajarilishi zarur va yetarli:[7].

. _( ) ⁿd

 0,
n  0,1,2,...

Isbot. 1.3.1-teoremaga asosan Koshi tipidagi integralning Koshi integral formulasiga aylanishi uchun

1 _( )d
 0,

z G

2i _   z

shartning bajarilishi zarur va yetarli.

z G
da kompleks sonning moduli yetarlicha

katta bo`lganda ushbu tengliklarni yozish mumkin:

1 _( )d
_ 1 _ ( )d
 ¹ _( )(1  ^
 _ 2

 ) d

 ¹ _( )d 

2i _
  z
^2i  z(1  ^ )
z
2iz <sub>


z z</sub> 2
2iz _


 ¹ ( ) 2iz² _
d  ........  ...

darajali qator yoyilmasining yagonaligidan

_ ( ) ⁿd  0

n  0,1,2,...
tenglik kelib chiqadi. Teorema isbotlandi.

1.4-§. Koshi-Riman sistemasiga doir misollar.
[3] da berilgan Koshi-Riman tenglamasiga doir berilgan quyidagi misollarni yechamiz:
1-misol. Chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan D sohada quyidagi elliptik sistemaning umumiy yechimini toping.


_u_x  v_y  g_1
u _y  v_x  g₂
Yechilishi:


u_x  v_y  g_{1
 }u_x  v_y  g₁

 u  iv  v

• 
  iu
  

 g  ig 

_u _y  v_x  g_2
iu_y  iv_x  ig₂
x x y
y 1 2


W _{ i} W
x y
 g₁

• 
  ig₂
  

Bundan


^W  G(z),
 z

2G  g₁

• 
  ig₂
  

Umumiy yechimni
W (z)  W₀ (z)  W₁ (z)
ko`rinishda izlaymiz. Bu yerda

0
W (z)  (z) tenglamaning bir jinsli qismining umumiy yechimi bo`lib,  (z) D

sohada z kompleks o`zgaruvchining analitik funksiyasi, bo`lmagan tenglamaning bitta xususiy yechimi.
W₁ (z) esa bir jinsli

Bu tenglamani yechish uchun Puasson tenglamasini qaraymiz:

Δ P(x, y)  q(x, y),
² P

x²

_ ² P
y²

 q(x, y),

z  x  iy,

    i

Bu Puasson tenglamasining yechimi quydagi logarifmik potensial ko’rinishida ifodalanadi.
P(x, y)   ¹ _ ln   z q( )dd
2 _D

D
W (z)  ^{2 } ln   z G( )dd 

1  ^ z

_ 2 _{ } 1
G( )dd   ¹ _ ^{G( )} dd

^ D ²
 _D   z

Demak, umumiy yechim quyidagicha bo`ladi:
W  (z)  ¹ _ ^{G( )} dd
 _D   z
2-misol. Chegarasi bo’lakli silliq bo’lgan D sohada quyidagi elliptik sistemaning umumiy yechimini toping.

_u_x  v_y


• 
  v  g₁
  

_u _y  v_x  u  g₂

Yechilishi:
_{u  e}axby_{U
, v  e}axby_V
bo’lsin

_(aeaxby_{U  e}axby_{U x )  (be}axby_{V  e}axby_{Vy )  e}axby_V
 g₁


_(be
axby_{U  e}
^axbyU _y )  (ae
axby_{V  e}
axby_{Vx )  e}
axby
u  g ₂

U _x  V_y
 aU  (b  1)V
_{ e}axby _g1


_U _yV_x


 aV  (b  1)U
_{ e}axby _{g 2}
 a  0,
b  1,
G₁  e^y g₁,

G₂  e^{ y} g₂

olsak
_U _xV_y


 G₁

_U _y
 V_x
 G₂

hosil bo’ladi. Endi
W  U  iV ,
2G  G₁  iG₂ ,
z  x  iy , t    i


 _ 1 ^ 


 i ^{ } ,

 _ 1 ^ 


 i ^

^ belgilashlar kiritilsa, sistema
W (z) _{ G(z)}

z 2 ^ x
y ^
z 2 ^ x
y ^  z

ko’rinishga keladi. Buning xususiy yechimi
W (z)   ¹









G(t) _dd

ekanligidan

D
⁰  ^ t  z

umumiy yechimni

W  W W

ko’rinishda izlaymiz. Bunda W

w _{ 0}

1 0 1 _{ z}

tenglamaning umumiy yechimi. Bu yerdan ixtiyoriy analitik funksiya



W₁   (z)
kelib chiqadi. Bunda 

W  U  iV
 e^y (u  iv)  e^y

ekanligidan
2G  G₁  iG₂
 e^y (g₁  ig₂ )  e^y 2g

^ 1 g(t) ^
(z)  e ^y (z)  _ e^ dd



D 
_^ _
t  z ^

kelib chiqadi. U holda U  Re (z)
,V  Im(z)
bo’ladi. [21].

3. 
   misol. Chegaralangan va chegarasi ^D bo’lakli silliq bo’lgan ^D sohada
   

quyidagi elliptik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping [3]:

_u_x  v_y


• 
  u  g₁
  

_u _y  v_x  v  g₂
Yechilishi: u(x,y)=e^ax+by U(x,y), v(x,y)=e^ax+by V(x,y) deb olaylik. U holda
_aeaxby_{U  e}axby_{U x  (be}axby_{V  e}axby_{Vy )  e}axby_{U  g1}


_(be
axby_{U  e}
^axbyU _y )  (ae
axby_V

• 
  e^axbyV_x )  e
  

axby_{V  g 2}

Bu yerdan


_eaxby_{U x}

• 
  _eaxby_Vy
  

• 
  _beaxby_V
  

• 
  (a  1)e^axbyU  g₁
  


_e
axby_{U y}

• 
  _eaxby_Vx
  

• 
  be
  

^axbyU  (a  1)e
axby_V
 g ₂

Endi, b=0, a=1 va G₁(x,y)=e^-x g₁(x,y), G₂(x,y)=-e^-x g₂(x,y) deb belgilasak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasiga kelamiz:

_U _x

_U _y
 V_y
 V_x
 G₁
 G₂

Quyidagi almashtirishlarni kiritamiz:


W=V+iU, 2G=G₂+iG₁, z=x+iy, t=  i ,


 _ 1 ₍ 


_{ i}  _), 


_ 1 ₍ 

 i ^ ).

z 2 x
y z
2 x y

Natijada berilgan tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishga keladi:
^W  G(z)

z

(1.4.1)

Ushbu tenglamaning xususiy yechimi W
(z)   ¹
G(t) _{d d}

ekanidan, umumiy

D
⁰  ^ t  z

yechimni
W  W₀ W₁
ko’rinishida izlash mumkin. Bu yerda W₁
bir jinsli yoki

Koshi-Riman tenglamalar sistemasi
W _{ 0}

z

ning umumiy yechimi. Bu yechim

ixtiyoriy
 (z)
analitik funksiyadan iborat bo’lgani uchun (1.4.1) tenglamaning

umumiy yechimi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

W  (z)  ¹ _ ^G(z)
d d

 t  z
D

W  e^x iux, y vx, y,
2Gx, y  e^x g₂ x, y ig₁x, y
ekanidan

W (z)  e^x[(z)  ¹ _ ^g(t) e^x d d]
 t  z
D

bu yerda
2gx, y  ig₁x, y g₂ x, y ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa

vx, y  ReW z, ux, y  ImW z

Javob: ux, y  ImW z,
vx, y  ReW z
bu yerda

W (z)  e^x[(z)  ¹ _ ^g(t) e^x d d].
 t  z
D

3. 
   misol. Chegaralangan va chegarasi D bo’lakli silliq bo’lgan D sohada
   

quyidagi elliptik tenglamalar sistemasining umumiy yechimini toping [3]:


_u_x  v_y  2v  g_1
u _y  v_x  2u  g₂