Respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi navoiy davlat konchilik

Laplas almashtirishi va z – almashtirishi

k 1

1. 
   - jadval
   

Uzluksiz funksiya		Panjarali funksiya
Original	Laplas almashtirishi	Orginal	z – almashtirishi
1(t)	1 p	1(kT )	z z  1
t	1 p2	kT	Tz (z 1)^2
t 2 2	1 p3	(kT)^2 2	T ^2 z(z  1) 2(z  1)^3
e at	1 p  a	e akT	Tz z  eaT

1  e at	a p( p  a)	1  e akT	z(1 e^^aT ) (z 1)(z  e^^aT )
sin bt	b p^2  b^2	sin bkT	z sin bt z^2  2z cos bT  1
cosbt	p p^2  b^2	cosbkT	z(z  cos bT ) z^2  2z cos bT  1

13. 
    - rasm. Ilgarilanish haqidagi tenglama uchun.
    

Ifodaning o‘ng tomonida
f (0) ni qo‘shib va ayirib hosil qilamiz.
Zf (k 1) zF(z)  f (0). (7.17)

Boshlang‘ich shartlar no‘lga teng bo‘lganda
f (0)  0 va

^{Zf (n 1) zF (z)} . (7.18) 2 taktga ilgarilanganda va boshlang‘ich shartlar no‘lga teng bo‘lganda
Zf (k  2) z² F(z).

m – taktga ilgarilanganda


Zf (k  m) z^m F(z) . (7.19)

Kechikishni hisoblash uchun xuddi shu yo‘llar bilan formulalar keltirib chiqariladi (7.14-rasm).


Zf (k 1) _ f (k 1)z^k  0  z^0  f (0)z^1  f (1)z^2 … 
k 0



_ f (k)z^{( k 1)}  z^1F (z),
k 0
Zf k  2 z^2 F (z),
......... ......... ......... ....
Zf k  m z^m F (z).

(7.20)

(7.21)

13. 
    - rasm. Kechikish teoremasiga doir.
    

Ayirmalarni tasvirlash
Dastlabki shartlar no‘l bo‘lganda:
Zf (k) Zf (k 1) Zf (k) zF(z)  F(z)  (z 1)F(z) . (7.22)
……………………….

Yig‘indini tasvirlash
Yig‘indining ayirmasi
Z^m f (k) (z 1)^m F(z).


F_ (k)  f (k) bo‘lgani uchun tasviri
(7.23)




ZF (k) F(z)

bo‘ladi. (7.22) tufayli
ZF (k) (z 1)ZF (k) bo‘lgani uchun uzil - kesil hosil

qilamiz:
 
ZF (k ) ^{F (z)} .
 z 1
(7.24)

m – tartibli yig‘indi uchun




ZF ^m (k)


F (z) _.
(z 1)^m
(7.25)

Panjarali funksiyaning chekli qiymati
f ()  lim f (k)  lim(z 1)F (z).
(7.26)

k 


Panjarali funksiyaning dastlabki qiymati
z1

f (0)  lim f (k)  limF (z)

Panjarali funksiyalar o‘rami:
k 0
z

Agar
^Zf₁^{(k) F}₁^(z) va ^Zf₂ ^{(k) F}₂ ^(z)
bo‘lsa,

F (z)  F (z)  Z _k f ( ) f
(k  ) Z _k f ( ) f (k  )

(7.27)

Bo‘ladi.
1 2 1 2

 0
2 1
 0

O‘zgartirish formulasi:
f (k)  ¹
2j



l



F(z)z^k1dz  _


 1


Re p_


F(z)z^k1.
(7.28)

Integrallash radius
R  z


^v max
, aylanasi bo‘ylab bajariladi, bunda
z_ –

F (z) funksiyaning qutblarini,
z  z_ – oddiy qutblar uchun nuqtadagi chegirma.

Yoyish formulasi:
Re p_ F (z)z^k1  lim (z  z_ )F (z)z^k1.
z  z_
(7.29)

1. 
   faraz qilaylik
   

F (z) 
A(z) _ zA₀ (z)
bo‘lsin, maxrajining ildizlari oddiy,

B(z) B(z)

n
suratning darajasi maxrajnikidan kichkina, shunda:

f (k)  _
A₀ (z_ ) _{zk ,}

(7.30)

bu yerda


z_ 




maxrajning ildizlari.
 1
B^ (z_ )

2. 
   Faraz qilaylik
   

F (z) 
A(z)


B(z)
bo‘lsin, suratning no‘l ildizi yo‘q, suratning

darajasi maxrajnikidan kichik, shunda:

n
f (k)  _


A(z_ )_{zk 1 ,}


k  1.
(7.31)


_{ 1} B^ (z_ )

d) Faraz qilaylik

F (z) 
^A(z) , suratning darajasi maxrajnikiga teng, shunda
B(z)

^А(z) ni
^B(z) ga bo‘lib hosil qilamiz:
F (z) 


f (0)  ^{A0 (z) ,}
B(z)

ya’ni b) holatga kelamiz.
Umumiy holda (jumladan, butun ildizlarda) foydalanish mumkin.
Loran qatoriga yoyish:



^{F (z)} ni bo‘laklarga yoyish usulidan

F (z)  _ f (k )z ^k 
k 0
f (0) 
f (1)z ^1 
f (2)z ^2 …,
bo‘lgani uchun
^{F (z)} ni,

(z) ning kamayib boradigan darajalari bo‘yicha Loran qatoriga yoyib va F(z) ning

suratini maxrajiga bo‘lib, F (z)  с  с z^1  c z^2 …
ni hosil qilamiz. Ikkala

0 1 2
qatorni taqqoslab, quyidagini chiqaramiz:

f 0  c₀,
f (1)  c₁, f (2)  c₂,… .
(7.32)

7.1-misol.
F (z) 
z


z 1


bo‘lsa
^{f (k )} ni topish kerak.

Yechish: Bo‘lish usulidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

Funksiyaning grafigi 7.15-rasmda berilgan.

f (k )
1

0 1 2 3 k

13. 
    - rasm.
    

F (z) 
z


z  1


ning tasviriga mos original.

Impulsli tizimlarda axborotning bir qismi kvantli, boshqa qismi uzluksiz (yechib olish onlari orasida) bo‘ladi. Korrektlovchi qurilmasi yoki boshqarish qurilmasi sifatida tezkor hisoblash texnikasidan foydalanish shunga olib keladi-ki, axborotni istalgan vaqt onida baholash mumkin. Umuman, hisoblash qurilmasi yoki uning dasturiga oid impulsli xarakteristikani o‘zgaruvchi parametrlarni uzluksiz funksiyalar bilan ifodalanganligini to‘g‘ri hosil qilish mumkin. Shuning uchun yechib olishlar orasida axborot olishning bir qancha usullari ishlab chiqilgan. Ulardan bittasi –

modifikatsiyalangan z - o‘zgartirish. U shundan iboratki, axborotni yechib olish
uchun T kechikish beriladi, bunda ^{0  T  1, t  kT  T.} Modifikatsiyalangan

z - o‘zgartirish quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi:





F (z, )  _ f (kT  T )z^k .
k 0
(7.33)

O‘z-o‘zidan ayonki,   0 bo‘lganda oddiy z - o‘zgarishga aylanib qoladi.

3.