|
Ikkinchi tur (koordinatalar bo‘yicha) egri chiziqli integral tushunchasi. To‘g‘rilanuvchi AB yoy va unda aniqlangan funksiya
berilgan bo‘lsin. AB yoyni nuqtalar yordamida ixtiyoriy ravishda n ta bo‘lakka ajratamiz (4-rasm).
4-rasm
Bo‘lishni A nuqtadan B nuqtaga qarab olib boramiz va deb
olamiz. nuqtaning koordinatalarini orqali belgilab, har bir yoydan ixtiyoriy ravishda bittadan
nuqtalar tanlab olib, quyidagi yig‘indini tuzamiz:
. (4)
Bu yig‘indi funksiya uchun AB yoyda x koordinatasi bo‘yicha tuzilgan integral yig‘indi deyiladi. Bu yig‘indining qiymati AB yoyni bo‘lish
usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab olinishiga
bog‘liq. bo‘lakchalarning uzunliklarini eng kattasini deb olib, uni nolga intiltiramiz, ravshanki unda bo‘lakchalar soni n cheksiz kattalashadi.
Ta’rif. Agar da (4) integral yig‘indi chekli limitga ega bo‘lib, u AB
yoyni bo‘laklarga bo‘lish usuliga va bo‘lakchalardan nuqtalarni tanlab
olinishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu limit funksiyaning AB yoy bo‘ylab, x koordinata bo‘yicha ikkinchi tur egri chiziqli integrali deyiladi.
Bu holda funksiya AB yoy bo‘ylab integrallanuvchi deyiladi.
Egri chiziqli integral kabi belgilanadi. Demak, ta’rif bo‘yicha
.
Xuddi shu kabi funksiyadan y koordinata bo‘yicha olingan ikkinchi tur egri chiziqli integral quyidagicha ta’riflanadi:
Agar AB yoyda aniqlangan va funksiyalar berilgan bo‘lib, va intetgrallar mavjud bo‘lsa, u holda yig‘indi to‘la ikkinchi tur egri chiziqli integral
(umumiy ko‘rinishdagi ikkinchi tur egri chiziqli integral) deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
(5)
Agar A va B nuqtalar ustma-ust tushsa, yopiq kontur hosil bo‘ladi. Yopiq
kontur bo‘yicha olingan egri chiziqli integral ko‘rinishda belgilanadi.
Birinchi bandda ko‘rilgan tekis kuch maydonining bajargan ishi A quyidagi formula bo‘yicha topiladi:
MATEMATIK FIZIKANING BA`ZI BIR TENGLAMALARI
Matematik fizika tenglamalari — fizik xrdisalarni matematik tahlil qilish natijasida kelib chiqadigan xususiy hosilali differensial hamda integral va funksional tenglamalar. Matematik fizika tenglamalarit.ni fizik qonunlarning matematik ifodasi deb izohlash mumkin, tenglamadagi miqdorlar, odatda, bevosita fizik maʼnoga ega boʻladi (mas, temperatura, elektr zaryadi, tebranuvchi muhit nuktalarining holati va boshqalar). Matematik fizika tenglamalari t. nazariyasi, asosan, xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasining bir qismi boʻlib, mat.ning boshqa boʻlimlari bilan ham bogliq. Oddiy differensial tenglamalardagidek har bir xususiy hosilali differensial tenglama, umuman, cheksiz koʻp xususiy yechimga ega boʻladi. Aniq fizik masala yechilayotganda bu yechimlardan masalaning fizik maʼnosidan kelib chiqadigan ayrim qoʻshimcha shartlarni qanoatlantiradigan yechimni ajratib olish zarur. Bunday qoʻshimcha shartlar, asosan, chegaraviy shartlar (qarang ChegaraviyHYPERLINK "https://uz.wikipedia.org/wiki/Chegaraviy_masalalar" HYPERLINK "https://uz.wikipedia.org/wiki/Chegaraviy_masalalar"masalalar) va boshlangʻich shartlar (qarang KoshiHYPERLINK "https://uz.wikipedia.org/wiki/Koshi_masalasi" HYPERLINK "https://uz.wikipedia.org/wiki/Koshi_masalasi"masalasi) dir.
Matematik fizika masalasining yechimi mavjud, yagona va berilgan shartlar boʻyicha uzluksiz boʻlsa, (yaʼni masala shartlarining kichik oʻzgarishi natijasida yechim ham oʻzgarsa), masala korrekt qoʻyilgan deyiladi. Matematik fizikaning korrekt qoʻyilgan masalalarini topish va ularni aniq yoki taqribiy yechimlarini tuzish Matematik fizika tenglamalari t.ning asosiy mazmunini tashkil etadi.
18-asr oʻrtalaridan boshlab barcha mamlakatlarning yirik matematiklari bu masalalarni hal qilish bilan shugʻullanganlar. Bu sohada soʻnggi paytda katta
natijalarga erishildi. Bunda rus olimlaridan I.G. Petrovskiy, S.L. Sobolev, M.A. Lavrentyev, A.N. Tixonov, A.V. Bitsadze, oʻzbekistonlik matematiklardan M.S. Salohiddinov, I.S. Arjanix, T.J. Joʻrayev va boshqalarning hissasi katta. Matematik fizika masalalarini yechishda oʻzgaruvchilarni ajratish yoki Furye usuli, potensiallar usuli va boshqa usullardan foydalanish mumkin. Keyingi yillarda masalalarni takribiy yechish usullari (bu usullar toʻgʻri usullar deb yuritiladi) keng qoʻllanilmoqda, bunda masala algebraik tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Takribiy yechish usullari Matematik fizika tenglamalari t.ni yechishda hozirgi zamon elektron-hisoblash mashinalaridan keng foydalanishga imkon beradi.
Mavzu: Matematik fizikaning asosiy tenglamalari vaHYPERLINK "https://hozir.org/urganch-davlat-universiteti-fizika-matematika-fakulteti-v6.html" HYPERLINK "https://hozir.org/urganch-davlat-universiteti-fizika-matematika-fakulteti-v6.html"ularni keltiribHYPERLINK "https://hozir.org/urganch-davlat-universiteti-fizika-matematika-fakulteti-v6.html" HYPERLINK "https://hozir.org/urganch-davlat-universiteti-fizika-matematika-fakulteti-v6.html"chiqarish Ikki o‘zgaruvchili funksiya uchun matematik fizikaning asоsiy tenglamalari deb quyidagi uchta ikkinchi tartibli xususiy hоsilali differensial tenglamalarga aytiladi.
To‘lqin tenglamasi yoki Dalamber tenglamasi
Bunday tenglamani tekshirishga tоrning ko‘ndalang tebranishi, sterjenning uzunasiga tebranishi, simda elektr tebranishlari, aylanuvchi silindrdagi (valdagi) aylanma tebranishlar va shunga o‘xshash tebranish jarayonlarini o‘rganish оlib keladi.
Issiqlik tarqalish tenglamasi yoki Fure tenglamasi
Bunday tenglamani tekshirishga issiqlikning tarqalish jarayoni, g‘оvak muhitda suyuqlik va gazning filtrlanishi, extimоllar nazariyasining ba’zi masalalari va shunga o‘xshash masalalarni o‘rganishga оlib keladi.
Zaryadlarning muvоzanatlashuvi tenglamasi yoki Laplas tenglamasi tenglamaning bir jinsli bo‘lmagan hоli Puassоn tenglamasi deyiladi. Bunday tenglamani tekshirishga elektr va magnit maydоnlari haqidagi masalalarni, statsiоnar issiqlik hоlati haqidagi masalalarni, gidrоdinamika, diffuziya masalalarini va shunga o‘xshash masalalarni o‘rganish оlib keladi. Agar nоma’lum u funksiya uch o‘zgaruvchili bo‘lsa, matematik fizikaning asоsiy tenglamalari quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.
XUSUSIY HOSILALI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
Differensial tenglamalar deb, noma`lumi bir yoki bir necha o`zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga aytiladi.
Agar tenglamada noma`lum funksiya ko`p o`zgaruvchining (o`zgaruvchi 2 tadan kam bo`lmasligi kerak) funksiyasi bo`lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Ta`rif:
x, y
erkli o`zgaruvchining
u(x, y)
noma`lum funksyasi va
funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog`lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
Ta`rif: E 2 fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir
xy yx
u(x, y) funksiya berilgan bo`lsin ( u = u ). U holda
x y xx xy yy
F (x, y,u,u ,u ,u ,u ,u ) = 0
(1)
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bu yerda F - qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o`xshash ko`p erkli o`zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagi ko`rinishda ifodalanadi:
F(x1 ,x2 ,...,xn ,u,ux ,ux ,...,ux ,...,ux x
,...)= 0. (2)
1 2 n i j
Ta`rif: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko`rinishga ega bo`lsa:
a11
(x, y)× uxx
+ 2a12
(x, y)× uxy
+ a22
(x, y)× uyy
, uy
) = 0 .
Do'stlaringiz bilan baham: |
