|
11.5- расм. Тебраниш бўғини:
а - электр схемаси; б - турғун бўғиннинг вақт тавсифномаси; в – турғун
бўлмаган бўғиннинг вақт тавсифномаси.
Тизимнинг дифференциал тенгламаси умумий кўринишда қуйидагича
ёзилиши мумкин:
,
...
...
1
1
1
1
1
1
1
1
0
x
d
dt
dx
b
dt
x
d
b
dt
x
d
b
y
a
dt
dy
a
dt
y
d
a
dt
y
d
а
m
m
m
m
m
m
a
n
n
n
n
n
n
(11.7)
бунда
, а
0
, а
1
, а
2
, .
..,а
п
ва
b
0
, b
1
, ...b
т
– ўзгармас коэффициентлар.
Бу коэффициентлар вақт доимийлари, узатиш коэффициентлари ва
дифференциал тенгламанинг чап ва ўнг қисмлари ҳосилаларининг ҳадлари
ёнида турадиган бошқа ўзгармас миқдорлар киради.
Агар тизим n буғинлардан иборат бўлса, тизим тенгламаси чап ва ўнг
қисмлари юқори ҳосиласининг тартиби алоҳида бўғинлар тенгламалари теги-
шли қисмларнинг даражалари йиғиндисига тенг бўлади, одатда, m
- 95 -
11.3. Лаплас алмаштиришининг хоссалари
АРТ ни тадқиқ этиш ва ҳисоблашда Лаплас алмаштириши деб аталадиган
математик усул кенг кўлланилмоқда. Бу усул бир ўзгаруви (одатда вақт) нинг
функцияси
f(t)
ни бошқа ўзгарувчи (масалан,
р
) нинг функцияси
f(р
) га
қуйидаги функцияга айлантиришга имкон беради.
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
p
F
pt
(11.8)
бу ерда
р
-ихтиёрий комплекс қиймат бўлиб,
р=а+jb
билан белгиланади,
бунда
a
ва
b
- ҳақиқий ўзгарувчилар.
f(t)
функцияси оригинал,
F(p)
функцияси эса
f(t
) функциянинг тасвири деб
аталади. Лаплас алмаштириш қисқача қуйидагича ёзилади.
)].
(
[
)
(
t
f
p
F
(11.9)
Лаплас алмаштириши дифференциал тенгламаларни алгебраик кўринишга,
яъни дифференциаллаш ва интеграллаш операцияларини кўпайтириш ва
бўлишдан алгебраик операциялар билан алмаштиришга имкон беради. Шунда
n-
тартибли ҳосила
n
- даражали
р
операторнинг тасвир
F(p)
га кўпайтмаси
билан алмаштирилади:
).
(
)
(
p
F
p
dt
t
x
d
n
n
n
(11.10)
Интеграл сурати F(p) тасвир, махражи эса р оператордан иборат касрга ал-
маштирилади:
.
)
(
)
(
p
p
F
dt
t
х
(11.11)
Бинобарин, оператор р ни расмий равишда дифференциаллаш символи
dt
d
p
деб қараш мумкин. Бу дифференциал тенгламалардаги ҳосилаларни даражаси
ҳосиланинг тартибига тенг операторлар
р
нинг ўзгарувчининг тасвирига ку-
пайтмаси билан алмаштиришга, яъни дифференциал тенгламалардан оператор
тенгламаларга ўтишга имкон беради.
- 96 -
Оператор тенгламалар автоматика тизимларини тадқиқ қилишда кенг
қулланилмоқда ва алоҳида бўғинларнинг ҳам, бутун АРТ нинг ҳам узатиш
функцияларини олишга имкон беради.
1-Мисол
. Ўзгармас ток машинаси ќўзѓатиш чулғами учун оператор тенгла-
ма тузилсин ва узатиш функцияси топилсин. Чулғамга келтирилган кучланиш
U
к
кириш миқдори, ќўзғатиш токи
I
к
эса чиқиш миқдори бўлади.
Кучланиш
U
к
келтирилган қўзғатиш чулғамининг статик режимдаги тенгламаси
U
k
=R
k
I
k
кўринишда бўлади.
Динамик режимда занжирда ўзиндукциянинг
dt
dI
L
e
k
k
L
бўлган э.ю.к.
пайдо бўлади ва алгебраик тенглама диффренциал тенгламага айланади:
U
k
+e
L
=I
k
R
k
бундан
.
dt
dI
L
R
I
U
k
k
k
k
k
Дифференциал тенгламанинг чап ва ўнг қисмларини
R
k
га бўламиз.
dt
dI
R
L
I
R
U
k
k
k
k
k
k
Қуйидагича белгилаймиз:
,
,
1
k
k
k
k
T
R
L
k
R
бунда
T
k
- қўзѓатиш занжири-
нинг вақт доимийси; бу ҳолда
.
dt
dI
T
I
kU
k
k
k
k
Лаплас алмаштириши асосида ўзгарувчан t дан ўзгарувчан р га ўтамиз ва
қуйидаги оператор тенгламани ҳосил қиламиз:
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
p
I
p
T
p
pI
T
p
I
p
kU
k
k
k
k
k
k
Ушбу ифодага биноан, қўзғатиш чулғамининг узатиш функциясини ёзамиз:
p
T
k
p
U
p
I
p
W
k
1
)
(
)
(
)
(
(11.12)
2-Мисол.
11.4-расм, в даги электрик схема учун оператор тенглама ту-
зилсин ва узатиш функцияси топилсин.
- 97 -
Занжирнинг алоҳида қисмлари учун дифференциал тенгламалар ёзамиз.
Схемага келтирилган кучланиш
U
чик
қуйидагига тенг:
.
1
dt
I
C
IR
U
кир
Чиқиш кучланиши
U
чик
қуйидагича аниқланади:
R
I
U
чиш
бу ерда
I
- қаршилик
R
бўйлаб оқадиган ток кучи. Иккала тенгламани
R
га
бўламиз:
,
1
1
dt
I
RC
I
U
R
кир
.
1
I
U
R
чиш
қуйидагича белгилаймиз:
k
R
1
ва
RC=Т
, бу ҳолда:
I
kU
dt
I
T
I
kU
чиш
кир
,
1
бўлади.
Тенгламалардаги ўзгарувчан
t
дан ўзгарувчан
р
га ўтамиз:
,
,
1
I
kU
dt
I
T
I
kU
чиш
кир
).
(
)
(
p
I
p
kU
чиш
Иккала тенгламани биргаликда ечиб, оператор тенглама ҳосил қиламиз:
),
(
1
)
(
)
(
p
kU
Tp
p
kU
p
kU
чик
чик
кир
ёки
).
(
)
1
1
(
)
(
p
U
Tp
p
U
чик
кир
Схеманинг узатиш функцияси қуйидаги кўринишда бўлади:
.
1
1
1
1
)
(
)
(
)
(
Tp
Tp
Tp
p
U
p
U
p
W
кир
чиш
(11.13)
Кўриб чиқилган мисоллар оператор тенгламаларни ва узатиш функцияла-
рини топиш усулига амал қилиб, автоматик тизимларнинг намунавий бўғин-
лари учун оператор тенгламалар ва узатиш функцияларини тузамиз. Наму-
навий бўғинлар учун оператор тенгламалар ва узатиш функциялари тегишли-
ча қуйидаги кўринишда бўлади:
- 98 -
Инерциясиз бўғин учун:
у(р)=кх(р),
k
p
x
p
y
p
W
)
(
)
(
)
(
(11.14)
Апериодик бўғин учун:
у(р)(1+Тр)=кх(р)
(11.15)
Tp
k
p
x
p
y
p
W
1
)
(
)
(
)
(
(11.16)
Дифференциалловчи бўғин қуйидагича ажратилади:
Идеал дифференциалловчи бўғин
у (р)=к рх(р),
(11.25)
kp
p
x
p
y
p
W
)
(
)
(
)
(
(11.17)
Реал дифференциалловчи бўғин
(1+Тр)у(р)=кТрх(р)
(11.18)
.
1
)
(
)
(
)
(
Tp
kT
p
x
p
y
p
W
p
(11.19)
Интегралловчи бўғин
Тру(р)=кх(р),
(11.20)
.
)
(
)
(
)
(
Tp
k
p
x
p
y
p
W
(11.21)
Тебраниш бўғини
(Т
1
Т
2
р
2
+Т
1
р+1)у(р)=кх(р)
, (11.22)
.
1
)
(
)
(
)
(
1
2
2
1
p
T
p
T
T
k
p
x
p
y
p
W
(11.23)
АРТнинг оператор тенгламаси (11.7) тенглама асосида қуйидаги умумий
кўринишда бўлади.
).
(
)
....
(
)
(
)
....
(
1
1
1
0
1
1
1
0
p
x
b
p
b
p
b
p
b
p
y
a
p
a
p
a
p
a
m
m
m
m
n
n
n
n
(11.24)
Автоматик ростлаш тизимининг узатиш функцияси (11.24) тенгламага би-
ноан қуйидаги умумий кўринишда бўлади:
.
....
....
)
(
1
1
1
0
1
1
1
0
n
n
n
n
m
m
m
m
a
p
a
p
a
p
a
b
p
b
p
b
p
b
p
W
(11.25)
- 99 -
Қайд қилиш керакки, (11.25) ифоданинг махражи тизим учун ёзилган тав-
сифли тенгламанинг чап қисми бўлади. АРТ нинг турғунлиги ва сифат
кўрсаткичларини аниқлашда узатиш функциялари муҳим восита бўлади.
Do'stlaringiz bilan baham: |
