Решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать. Изучив схему Горнера и деление уголком можно научиться решать: уравнения, разложение многочлена на множители

3.Практическая часть.
Задача 1: Решить уравнение: х³ – 3 х²-13х + 15 = 0.
Решим уравнения по схеме Горнера.
Коэффициенты рассматриваемого уравнения есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед x³) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 15.
Свободный член 15: его делители ± 1, ± 3, ± 5, ± 15
По теореме 1, сумма коэффициентов равна 0, значит 1 является корнем.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена х³ – 3 х²-13х + 15, расположенные по убыванию степеней переменной х. Во второй строке запишем 1, т.к. мы делим на х-1.
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:

Табл.1

	1	- 3	-13	15
1	1	-2

Следующую ячейку заполним по такому принципу: 1⋅1+(-3)=-2:
Табл.2

	1	- 3	- 13	15
1	1	-2	-15	0	Значит х=1 корень

Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: 1⋅(-2)+(-13)=-15
Для пятой ячейки получим: 1⋅(-15)+15=0. Значит 1 корень уравнения. Если получается число, отличное от нуля, то это не корень.
Заполняем таблицу и для других делителей:
-1 не удовлетворяет по теореме 2, поэтому не проверяем.

хi	Коэффициенты многочлена
	Х^3	Х^2	Х	Свободный член
	1	-3	-13	15
1	1	-2	-15	0	х=1 корень
3	1	0	-13	-24	Не корень
-3	1	-6	5	0	х=-3 корень
5	1	2	-3	0	х=5 корень

Из таблицы видно, что найдены три корня. Уравнение 3 степени не может иметь более трех корней, поэтому остальные делители можно не проверять.
Мы нашли корни уравнения х₁=1, х₂=-3, х₃=5
Ответ: -3; 1; 5
Задача 2. Разделить многочлен 5х⁴+5х³+х²-11 на х-1 используя схему Горнера.
Запишем данный многочлен в виде5х⁴+5х³+х² +0х-11 и составим таблицу. Числа, расположенные во второй строке, есть коэффициенты многочлена, полученного после деления на х-1. Т.к. степень исходного многочлена 5х⁴+5х³+х²-11 равнялась четырем, то степень полученного многочлена на единицу меньше, т.е. равна трем.

хi	Коэффициенты многочлена
	Х^4	Х^3	Х^2	Х	Своб.член
	5	5	1	0	-11
1	5	1*5+5=10	1*10+1=11	1*11+0=11	1*11+(-11)=0
	5	1 0	1 1	1 1	0

Получаем (5х⁴+5х³+х²-11)/(х-1)= ((х-1) (5х³+10х² +11х+11)) /(х-1)=

5х³+10х² +11х+11
В нашем случае остаток равен нулю. Значит, можно сформулировать такой вывод: многочлен делится на х-1, и еще х=1 является корнем многочлена.
Задача 3.
а) Найти целые корни уравнения х³-7х-6=0, б) разложить многочлен х³-7х-6на множители; в)доказать, что многочлен х³-7х-6 делиться на х-3.
Если уравнение имеет целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена. Запишем эти делители ± 1, ± 2, ± 3, ± 6
Составим таблицу по схеме Горнера. Для начала запишем многочлен в стандартном виде: х³- 0х² - 7х-6.
1 не подставляем, т.к. не выполняется условие теоремы 1.

хi	Коэффициенты многочлена
	Х^3	Х^2	Х	Своб.член
	1	0	-7	-6
-1	1	-1*1+0=-1	-1*(-1)+(-7)= -6	-6*(-1)+(-6)=0	Корень
2	1	2*1+0=2	2*2+(-7)= -3	-3*2+(-6)= -12	Не корень
-2	1	-2*1+0=-2	-2*(-2) +(-7)= -3	-3*(-2)+(-6)=0	Корень
3	1	3*1+0=3	3*3+ (-7)=2	3*2+(-6)=0	Корень

а) решив уравнение получили корни х₁=-1, х₂=-2, х₃=3

б) многочлен разложили на множители х³-7х-6=(х+1)(х+2)(х-3)
в)т.к. х³-7х-6=(х+1)(х+2)(х-3), значит этот многочлен делится на х-3 и получается (х+1)(х+2)


Заключение.
Теперь я овладел основными методами решения различных уравнений высших степеней, для n >2. Дальнейшая моя задача, научиться эффективно использовать схему Горнера для решения уравнений высших степеней. Считаю, что это поможет мне при решении олимпиадных задач, задач ОГЭ и ЕГЭ. Меня эта тема и такой подход к решению уравнений очень заинтересовал, но единственный минус это то, что схема работает только для целочисленных корней.
Изучив тему, мы провели опрос учащихся 9-11 классов в виде небольшой анкеты (Приложение 1). Результаты показали, что учащиеся умеют решать уравнения другими способами, а схема Горнера знакома лишь нескольким ученикам 11 класса.
Итог нашей работы – брошюра «Схема Горнера» (Приложение 2).
Надеюсь, что моя работа найдет практическое применение для подготовки учащихся к олимпиадам и при подготовке к экзаменам.
Считаю, что цели и задачи исследовательской работы полностью реализованы.

Список литературы:

1. 
   Глейзер Г.И. История математики в школе 9-11кл.
   
2. 
   Математический энциклопедический словарь. гл. ред. Ю.В. Прохорова.- М. Современная энциклопедия, 1988.
   
3. 
   Интернет- ресурсы.
   

Приложение 1
Анкета
Вопросы:
1.умеете ли вы решать уравнения? Да Нет
2. Знаете ли вы как разложить многочлен на множители? Да Нет
3. Знакома ли вам схема Горнера? Да Нет
4. Умеете ли вы решать кубические уравнения? Да Нет
5.Легко ли вам решать уравнения высших степеней? Да Нет
Результаты опроса:

Класс	Количество опрошенных	1 вопрос	2 вопрос	3 вопрос	4 вопрос	5 вопрос
		Ответили - Да
8	15	8	2	0	0	0
9	17	14	8	0	0	0
10	15	5	3	0	2	2
11	15		3	7	8	4
Итого:	62	50	22	7	10	6

Приложение 2
Брошюра «Схема Горнера»