ResearchGate

( 1 1 1 Л

3. 
   V з 6 ¹ 6 ² у
   

( 1 1 1 Л
k₄ — f tⁿ + - At, uⁿ + - At • k₁ + - At • k₂ ;

3. 
   V 2 8 ¹ 4 ² у
   

k₅ — f{tⁿ + At, uⁿ +1 At • k₁ — 3 At • k₃ + 2At • k₄

1 1
— uⁿ + - At •k — 3k₃ + 4k ₄ ); uⁿ+² — uⁿ + - At • (k_l + 4k₄ + k₅).
2 6
Bu sxema At<1/^f
du _n
uchun ustivor. R=0,2-\ uⁿ⁺² - uⁿ+¹ | - baholash koeffitsiyenti. Agar R>s (bunda s - hisoblash aniqligi) bo‘lsa, u holda qadam ikki marta kamaytirilib, yuqoridagi k₁ ni hisoblashga o‘tiladi; aks holda oxirgi hisoblangan uⁿ+² miqdor t ⁿ+² vaqt momentidagi natija bo‘lib qoladi. Keyingi vaqt qadamiga o‘tishdan oldin R < s /64 ekanlihi aniqlansa, u holda qadam ikki martaga oshiriladi. Kutta-Merson usulining aniqligi boshqa bir qadamli usullarga nisbatan yuqori.
2.4.2. Oddiy differensial tenglamalarni integrallash uchun ko‘p qadamli usullar
Yuqoridagi belgilashlarni saqlagan holda oddiy differensial tenglamalar uchun ko‘p qadamli klassik usullarni keltiramiz.
к qadamli chiziqli ko‘p qadamli usulni quyidagicha yozish mumkin:
k—1,

u

n+1

n+2
3 + 4k4 ); u — u + At • (k- + 4k4 + k5
6
da haqiqiy a lar uchun ustivor, chegarada esa mavhum a lar

uⁿ+^k = At ■ рг^к + у (At • p_j — a_juⁿ+^j)

j—-

Odatda uⁿ⁺¹ ni hisoblashimiz uchun biz bir biridan At uzoqlikda joylashgan nuqtalarda hisoblangan oldingi qadamlardagi (tⁿ, uⁿ), (t^n-1, u^n-1), ... miqdorlar juftligini bilishimiz zarur. Bu esa bizdan oldingi bir qancha qadamlardagi natijalarni EHM xotirasida saqlab turishni talab etadi.
Quyida ana shunday chiziqli ko‘p qadamli usullar keltirilgan:
• Ikki qadamli usul (s=O(At)):

n+1/2 n i rn л wo . n+1 n i z-n+1/2 a , .
u = u + f At/2 ; u = u + f At ;

At<2/^f du

da haqiqiy a lar uchun ustivor, chegarada esa mavhum a lar uchun ustivor.

n

Adams-Beyshfort usuli (oshkor, s=O(At⁴)):


uⁿ+ = uⁿ + f ⁿ At ; uⁿ+² = uⁿ+¹ + (3f^n+l - fⁿ) -(At/2) ;
uⁿ+ = uⁿ+ + (23fⁿ+² -16 fⁿ+¹ +5 fⁿ) -(At/12) ;
uⁿ+4 = uⁿ+³ + (55f ⁿ+³ -59fⁿ+² +37f ⁿ+¹-9 fⁿ) -(At/24).
d
At<1/ ^f дп
a haqiqiy a lar uchun ustivor, chegarada esa mavhum a lar uchun ustivor.
n
Adams-Multon usuli (oshkormas, s=O(At⁴)):


n+1


u


= uⁿ + (fⁿ+¹ + f ⁿ)-(At/2) ;


n+2


n+1


n+2


u = u ' ‘ + f
n+3 _ ,n+2 i sc\,/*n+3 , ^ ^ jyn+'2 c ./*n+1^ J^n^ *


+ (9fⁿ+³ +19 f ⁿ+² -5 f


+8f"+‘ - f ’) -(At/12) ;


u = u
uⁿ+⁴ = uⁿ+³ + (55fⁿ+³ -59f ⁿ+² +37f ⁿ+¹-9fⁿ)-(At/720).


Barcha At larda mavhum va haqiqiy a lar uchun ustivor. g=(1- a)/(1+ a).

• 
  Miln usuli (dastlabki to‘rtta nuqra Runge-Kutta usulidan olinadi):
  

(u*)ⁿ+¹ = u^n-3 + (2fⁿ -f^n-1 - 2f^n-2)-(4At/3) ; f f+K (u*)ⁿ+¹) ;
uⁿ⁺¹ = u^n-1 + f * + 4 fⁿ + f ^n-1)-(At/3) ;

• 
  Modifikatsiyalangan Miln usuli (dastlabki to‘rtta nuqra Runge-Kutta usulidan olinadi):
  

(u*)ⁿ+¹ = u^n-3 + (2fⁿ -f^n-1 - 2f^n-2)-(4At/3) ; w* = (u*)ⁿ+¹ +( uⁿ - (u*)ⁿ+¹)-(28/29) ;
f f+V) ; uⁿ⁺¹ = u^n-1 + f * + 4 f¹ + f ^n-1)-(At/3) ;
Bu yerda Adams-Beyshfort, Adams-Multon va Miln usullari prediktor-korrektor tipida bo‘lib, ular Runge-Kutta usuliga nisbatan aniqligi yuqori. Bu usullarni faqat oddiy differensial tenglama bikr (жесткий) bo‘lmagan holda qo‘llash mumkin. Oddiy differensial tenglama bikr bo‘lgan holda esa bir qadamli usullar yaxshi natija beradi. Xususiy holda, k=1 bo‘lganda Adams-Beyshfort usuli Eylerning birinchi tartibli usuliga, Adams-Multon usuli esa trapetsiya usuliga (bu usul trapetsiyaning kvadratur formulasini ifodalaydi) aylanadi.

3. 
   Giperbolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar
   

дп dF