ResearchGate

Ax . \ '
Bu formulalarni yarim butun indekslarni ikki marta markaziy ayirmalar bo‘yicha qodlash bilan ham hosil qilish mumkin:
9²Ф\ (Wi+l/2 ~ (f£)j-1/2 _ Фг+1 - 2фг + Фг-1
дх² I. Ах (Ах)²
ч /г
Bunday approksimatsiya ikkinchi tartibli aniqlikka ega ekanligini ko‘rsatish mumkin.
t vaqt bo‘yicha birinchi tartibli aniqlikka ega oshkor usulni yozaylik:
Bu sxemaning ustivorligini aniqlaylik:

ф^п+1 = ф^п

p At
Ax²

Cexp(ikAx) — 2 + expi — ikAxn

Ф"

pAt.
1 + 2——coslkAx) —
Ai'“

Shunday qilib, keyingi vaqt qadamidagi o‘tish ko‘paytuvchisi quyidagicha:
, / A A.r ■,
■(—)■

у — I I l'-"—^(ros+Ax) — 1) 1—4^! tsin²'

Ax²' ' ' Ax²
Fon Neymanning ustivorlik kriteriyasiga ko‘ra 19 . Bu shart ixtiyoriy к -
toMqin soni uchun o‘rinli boMishi lozim, shuning uchun
pAt .

yoki

Ax²

> -2

2.3.3. Vaqt bo‘yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega oshkor
chekli-ayirmali sxemalar

Yoqorida qarab chiqilgan ayirmali sxemalar vaqt bo‘yicha birinchi tartibli aniqlikka ega edi, chunki har bir qadamda f^+l ning qiymatini hisoblash uchun ф ning faqat bitta oltinga qatlamdagi qaymati ishlatilgan edi. Ikkinchi va undan yuqori tartibli sxemalarni hosil qilish uchun avvalgi qatlamlardan foydalanish yoki n va n+1 lar orasida oraliq qatlamlar kiritish lozim bo‘ladi.
• Laks-Vendroffning ikkiqadamli sxemasi.
Quyidagi ko‘rinishdagi giperbolik tenglamani yechaylik:
дф(х,1) dF(,x,t)
' (2.6) Bu yerda ф!¹ ni bilgan holda F" = F(fⁿ) ni topish mumkin. n+1 -qadamdagi qiymatni hisoblashdan awal n+1/2 -oraliq qadamdagi qiymatlarni hisoblash lozim:

t-i?i+ 1/2
M+l/2

*m - £(Ci + «) - - F?)
n/ jw+1/2 .
^{p 1} 1/2 > ni topamiz va ikkinchi yarim-qadamni hisoblaymiz:
°r*‘

(2.7)

(2.8)
Bu usulning x va t bo‘yicha ikkinchi tartibli aniqlikka ega ekanligini ko‘rsataylik. Quyidagi yordamchi operatorlarni kiritamiz:
f-^хФг (01+1/2 "F Фг 1 /2) / — ^хФг 0i+l/2 Фг 1/2 •
U holda (2.7) va (2.8) larni yangi operatorlar yordamida quyidagicha yozish mumkin:




Qulaylik uchun quyidagi operatorlardan foydalanamiz:

(2.9)


3 3 . сР
^ ^dx = ^АхЖ^{г dff} = ^A'²^'
Bu yerda O(At) = O(Ax) = O(A) deb hisoblaymiz. U holda (2.6) tenglamadan
(
(2.7)-(2.10) lardan foydalanib, quyidagiga kelamiz:


2.10)
Shunday qilib, ikkinti tartibgali hadlargacha aniqlikda olingan bu formula ф ⁿ atrofida Teylor qatoriga yoyilgan for-mula bilan mos tushadi.
Endi o‘tish operatorini aniqlaylik va Laks-Vendroff sxemasi uchun ustivorlik shartini tekshiraylik.
Uzatish tenglamasining (2.1) - soddaroq ko‘rinishini olaylik. Fon Neyman usulidan foydalanib, o‘tish ko‘paytuv-chisi quyidagicha ekanligini ko‘rsatish mumkin:
g = i — ?'t>0r(vA:r) — C⁷ m.? sAx) — 1 . bu yerda C - Kurant soni,
gg* = I +<2^г(соз(А:Дд;) — I)j — C^a«n^S(JfeAa:) =
= 1 - £7^(1 - C²)[ 1 - rnzikAx)'⁷.
Agar C <1 bo‘lsa, u holda o‘tish ko‘paytuvchisi 1 dan oshmaydi, yani yana Kurant-Fridriks-Leva sharti bajariladi.
•
= rt™-' - — \Fⁿ


Leapflogyoki o‘rta nuqtali chexarda sxemasi:
Bu sxema ham ikkinchi tartibli, chunki u ham vaqt bo‘yicha va ham fazo bo‘yicha markazlashtirilgan. Ammo bu sxemadan foydalanishda funksiyaning ф⁰ va ф¹ lardan iborat ikkita vaqt qatlamdagi qiymatlari oldindan aniqlangan bo‘lishi lozim. Buning uchun soddaroq birinchi tartibli sxemadan foydalanish mumkin, ammo bu bilan ba’zi masalalarni yechishda aniqlik kamayishi mumkin.
Yuqori tartibli aniqlikka ega sxemalar uchun vaqt bo‘yichi qo‘shimcha oraliq qatlamlar kiritish zarur bo‘ladi.

4. 
   Chekli-ayirmali sxemalarda oshkor sonli qovushoqlikning kiritilishi
   

Oshkor sonli qovushoqlikning kiritilishi hisoblanayotgan funksiyaning katta gradiyenti mavjud bo‘lgan joylarda (masalan, uzilishlar uchraganda) yechimning ustivorligini ta’minlash uchun ba’zida zarur bo‘ladi. Agar (2.6) giperbolik tenglama ikkinchi yoki uchinchi tartibli aniqlik bilan hisoblanayotgan bo‘lsa, u holda sonli
qovushoqlikning ikkinchi tartibli had ko‘rinishida kiritilishi olingan yechimning aniqlik tartibimi norasmiy pasaytiradi. Sonli qovushoqlikning ta’sirini kamaytirish uchun qovushoq had oldidagi koeffitsiyent kamaytiriladi yoki uning biror samaraliroq shakli tanlanadi. Bunda uchta variantni qaraylik.
Ikkinchi tartibli aniqlikka ega sodda diffuzion had.





Sun’iy qovushoqli uzatish tenglamasini qraylik:
Эф _ _ Эф _ &ф Э?. ^Ь Эх ^ Эх^{2 7}
bunda ц - tanlov yordamida aniqlanadigan koeffitsiyent. Chekli-ayirmali approksimatsiyada bu diffusion had quyidagicha yoziladi:


- 2Д?



j
Aj:'^j


u ning miqdori chegaralangan boMishi lozim, ya’ni
bu diffuziya tenglamasini yechishda olingan ustivorlik shartiga o‘xshash. Qovushoq hadning ta’siri Re=(vAx)^- Reynolds soni yordamida baholanadi.
• Ikkinchi tartibli qayta ishlangan diffuzion had.
B
d_
Эх


u zarbali to‘lqinlarli oqimlarni hisoblash uchun 1961 yilda Rusanov tomonidan kiritilgan.
bunda V_C = \V\ + c - oqim tezligi moduli va tovush tezligi yig‘indisi. Chekli-ayirmali approksimatsiyada bu hadni quyidagicha ifodalash mumkin:
^7 (W+iiKcj+i -Va) - diiVa-i + 2Vr i - Kc^i) - V'fd-I ))-
Bunda Reynolds soni Re « (vAx)/(цV_C) kabi baholanadi.
• To‘rtinchi tartibli aniqlikka ega diffuzion had.
= :: = - - - -
Bu haddan sun’iy qovushoqlik hadi sifatida foydalanish bilan sonli sxemaning yuqori tartibli aniqligini saqlab qolish mumkin. Ammo buning uchun ц ko‘paytuvchini juda ehtitotlik bilan tanlash lozim bo‘ladi.

4. 
   Ko‘p o‘lchovli masalalar uchun umumlashtirish
   

Ko‘pgina sonli sxemalarni ikki va undan ortiq o‘lchamlar uchun umumlash­tirish qiyinlik tug‘dirmaydi. Ba’zi hollarda to‘rning qo‘shni tugunlari o‘rtasidagi moslik haqida qayg‘urish lozim bo‘ladi.
Quyidagi ikki o‘lchovli tenglamani yechaylik:
d&{z.y.t) _ /ЭР 3C\ di. ^ d% dy J
Buning uchun ikkita sxemani qaraylik: Laks sxemasi va Laks-Vendroff sxemasining o‘zgartirilgan ko‘rinishi.
• Laks sxemasi.
«3¹ - - *«+. - ■%->) -
Z 7n Z7n On \
~ ^J t-l.j _ Wj-l ~ \
__ .
S
Laks-Vendroffning ikki qadamli sxemasi.


hunday qilib, n+1 - qatlamning (i/) nuqtasidagi sonli yechim n-qatlamning (i+1,/), (i-1j), (ij+1), (ij-1) nuqtalaridagi qiymatlar orqali aniqlanadi, ya’ni n - va n+1- qatlamlarning (ij) nuqtalaridagi yechimlar bir-birlari bilan bog‘liq. Aslida to‘r tugunlarining har bir yarmida ikkita o‘zaro bog‘liq bo‘lmagan yechimlar topilib borishi mumkin.
N oMchovli fazoda Kurant-Fridriks-Levaning ustivorlik sharti quyidagicha:
bunda \v\ - hisoblash sohasida qo‘zg‘alishlar tarqalishi tezligining mumkin bo‘lgan eng katta qiymati. Agar Ax Ф Ay bo‘lsa, u holda ikki o‘lchovli Kurant soni quyidagicha yoziladi:
B
c*>

unga mos ravishda C_2D < 1 - ustivorlik sharti
Sinov savollari

1. 
   Markaziy ayirmalar uchun ko‘chirish tenglamasining ayirmali tenglamani yozing.
   
2. 
   Ayirmali sxemaning ustivorligi fon Neyman usuli bilan qanday tahlil qilinadi?
   
3. 
   Markaziy ayirmalar uchun diffuziya tenglamasining ayirmali tenglamani yozing.
   
4. 
   Ko‘chirish tenglamasining ayirmali tenglamanda ustivorlik uchun g - o‘tish ko‘paytuvchisi nimaga teng.
   
5. 
   Diffuziya tenglamasining ayirmali tenglamanda ustivorlik uchun g - o‘tish ko‘paytuvchisi nimaga teng.
   
6. 
   Chekli-ayirmali approksimatsiyada diffusion had nimaga teng va u qanday ahamiyatga ega?
   
7. 
   Ikki o‘lchovli tenglama uchun ustivor ayirmali sxemani ko‘rsating.
   

Adabiyotlar: [3], 79-88 b.
2.4. Bir va ko‘p qadamli usullar. Oshkor konservativ usullar
Fan: «Gidrodinamikaning asosiy masalalarini sonli yechish usullari».
O‘quv-mashg‘ulot soati: 4 s. (ma’ruza); 6 s. (mustaqil ish).
O‘quv-mashg‘ulot turi: an’anaviy ma’ruza.
O‘quv-mashg‘ulot maqsadi:

• 
  ta’limiy - bir qadamli usullar (Eyler usuli; Eylerning modifikatsiyalangan usuli; Eylerning yaxshilangan usuli; Runge-Kuttaning klassik usuli; Runge- Kutta-Gill usuli; Kutta-Merson usuli), va ko‘p qadamli usullar (ikki qadamli usul; Adams-Beyshfort usuli; Adams-Multon usuli; Miln usuli), oshkor sxemalar (Laks usuli; Laks-Vendroffning bir va ikki qadamli usuli; Krank- Nikolson usuli; Dyufor-Frankelning oshkor usuli) kabi mavzuga oid materiallarni qabul qilish va ularni eslab qolish;
  
• 
  tarbiyaviy - ishontirish; xulqi ustidan nazorat; faol mustaqil ishlash; mustaqil ishni bajarishda vaqtni to‘g‘ri taqsimlash; javobgarlikni his qilish; mehnat- sevarlik; yakka tartibda va guruhlarda hamkorlikda ishlash; raqibni hurmat qilish; kelishuvchanlik; bir to‘xtamga kelish; diqqatni jamlash; sarishtalik;
  
• 
  rivojlantiruvchi - darslik bilan ishlash; ijodiy namuna; tahlil; taklif; xulosa; tanqidiy qarash; xususiydan umumiyga o‘tish; umumlashtirish; nazariy, mantiqiy va analitik fikrlash; ijodiy yondashish; Internetdan foydalanish.
  

O‘quv-mashg‘ulotni o‘qitish texnologiyasi:

• 
  o ‘qitish usuli: noan’anaviy (tashkiliy qism; so‘rash, tushuntirish, mustahkam- lash, aqliy hujum; «Insert» texnikasi; uyga vazifa; xulosa);
  
• 
  o ‘qitish shakli: jamoaviy, guruh bo‘lib;
  
• 
  o‘qitish vositasi: uslubiy qo‘llanma; ma’ruzalar matni; tarqatma materiallar; slaydlar;
  
• 
  o ‘qitish sharoiti: kompyuter; videoproyektor; elektoron doska bilan ta’minlan- gan auditoriya;
  
• 
  monitoring va baholash: og‘zaki; blits-so‘rov; test.
  

O‘quv-mashg‘ulot rejasi:

• 
  Oddiy differensial tenglamalarni integrallash uchun bir qadamli usullar.
  
• 
  Oddiy differensial tenglamalarni integrallash uchun ko‘p qadamli usullar.
  
• 
  Giperbolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar.
  
• 
  Parabolik tipdagi tenglama uchun oshkor konservativ usullar.
  

Tayanch so‘zlar va iboralar:
bir qadamli va ko‘p qadamli usullar; Eyler usuli; Eylerning modifikatsiyalangan
usuli; Eylerning yaxshilangan usuli; Runge-Kuttaning klassik usuli; Runge-
Kutta-Gill usuli; Kutta-Merson usuli; ikki qadamli usul; Adams-Beyshfort usuli;
Adams-Multon usuli; Miln usuli; Laks usuli; Laks-Vendroffning bir va ikki
qadamli usuli; Krank-Nikolson usuli; Dyufor-Frankelning oshkor usuli.
O‘quv-mashg‘ulot mazmuni:
Yuqorida keltirilgan ayirmali sxemalami umumlastirib, quyidagi xulosalarga kelamiz (quyida keltirilgan usullaming ba’zilari keyingi bobda Byurgers teng- lamasini sonli yechish misolida batafsilroq yoriyiladi). Shuni ta’kidlaymizki, quyida keltiriladigan usullarning ko‘pchiligi uchun maxsus dasturiy paketlar yaratilgan, ular bilan Internet tarmog‘i orqali to‘laroq tanishish mumkin.

1. 
   Oddiy differensial tenglamalarni integrallash uchun bir qadamli usullar
   

Ko‘pgina fizik va mexanik jarayonlar oddiy differensial tenglamalarni yoki shunday tenglamalar sistemasini yechishga olib kelinadi. Oddiy differensial tenglamalarni yechishning klassik usullari bilan hisoblash matematikasi fanida
tanishilgan, shunga asoslanib quyida bu usullarni ^du = f (u,t) nochiziqli tenglamani
dt
u(t⁰)=u⁰ boshlang‘ich shartda yechishga qo‘llanilishi ko‘rinishida ifodalaymiz (bu
•
yerda f ⁿ = f (uⁿ, tⁿ); a = ^f
At; g - o‘tish ko‘paytuvchishi). Umumlashgan bir
d
n

u
qadamli usulni (oldingi qadamdagi uⁿ ni bilgan holda) quyidagicha yozish mumkin:
uⁿ⁺¹ = uⁿ + At • F(tⁿ, uⁿ, At).
Quyida ana shunday bir qadamli usullar keltirilgan:
• Eyler usuli (s=O(At)):
u
Bu usulda a. uchun At<2/^df


Mavhum a uchun noustivor.


du


n


Eylerning modifikatsiyalangan usuli (s=O(At²)):
( i i Л
k = f (tⁿ, uⁿ ); k₂ = f tⁿ + - At, uⁿ + - At • k_l
v 2 2
Eylerning yaxshilangan usuli (s=O(At)):
kj = f(tⁿ,u"); k₂ = f(tⁿ + At, uⁿ + At• k,); u"+' = u +^—At•{k_l + k₂).


u


n+—


= uⁿ + At • k


• Runge-Kuttaning klassik usuli (s=O(At⁴)):
( , , \
k, = f (tⁿ, uⁿ); k₂ = f tⁿ + — At, uⁿ + — At • k, ; k₃ = f


v


2


2


( j j
tⁿ + ^— At, uⁿ + ^— At • k v 2 2


2


At

n+— n
^₃ ); U = U

k₄ = f {tⁿ + At, uⁿ + At • k₃);


— U + (k— + 2k2 + 2k3 + k4 ).
6

= u + f At ; g=1- a.
Runge-Kutta-Gill usuli (s=O(At⁴)):
k
2


2

_— = f (tⁿ, uⁿ ); k₂ = f tⁿ + - At, uⁿ + — At • k_—
v

k3 = f

—

( — —

Л

tⁿ +-At, uⁿ + —+
2 V 2 42

At • k_— +

—

—

л

V2

At • k₀

^k 4 = ^f

+ n I л + „ n
t + At, u —

V

-¹ At • k₉ +
72 ²

1 +

1

Л

V2

At • k

u

- n ,
— u + ■

At
~6

k- + 2

1 —

1

V

V

72

k^2 + 2

V V2 у 1

1+

V

72

+ ^4

Kutta-Merson usuli (s=O(At⁴))

1

1

\

k- — f (tⁿ,uⁿ); k₂ — f tⁿ +¹ At, uⁿ +¹ At • k ² ч 3 3 ¹ у