ResearchGate

At ^0 Ax^-0 At
tenglik bajarilsa, bunda At/Ax^fi; в - chekli miqdor;
• Faraz qilaylik, u_e(x,t) - aniq yechim bo‘lsin. U holda approksimatsiyaning lokal xatosi quyidagicha:
LTE = u_eⁿ+¹ - Lu_eⁿ = O( At, £ At^pAx^q )
pq>0, p+q=l
Bunday holda approksimatsiyaning lokal xatosi tartibi l+1 ga, sxemaning tartibi esa l ga teng.
Misol. Uzatishning u_t + au_x= 0 - chiziqli tenglamasi uchun oqimga qarshi ayirmalar bilan sxema quyidagicha yoziladi:
(u_iⁿ+¹ - u”)/At + a(uⁿi - uⁿ_i_₁ )/Ax = 0;
(Lu_eⁿ)j = uⁿ_ej + o(uⁿ_ej-1 - uⁿ_ej ); о = a At/Ax;
L
Ustivorlik. Ayirmali sxemani qo‘llash bilan natijasi katostrofik bo‘lgan cheklanmagan yechimga kelib qolishimiz mumkin, u holda biz bunday ayirmali sxemani sonli ustivor emas deb aytamiz. Agar vaqt qadamining oshishi bilan ixtiyoriy xato oshib borsa, bu o‘z navbatida yechimni to‘la yaroqsiz natijaga olib keladi.
Ustivorlik shartini quyidagicha bayon qilish mumkin: sonli usul ustivor bo‘ladi, agar hisoblash jarayonining ixtiyoriy bosqichida kichik xato o‘zidan kichik chekli xatoga olib kelsa.
Amaliyotda boshlang‘ich shartlar bilan berilgan masalani yechish uchun qo‘llanilayotgan ixtiyoriy sonli usul shubhasiz, hech bo‘lmaganda ma’lum sharoitda, ustibor bo‘lishi kerak.
Ustivorlik talabini quyudagicha bosqichlar bilan bayon qilish mumkin:

• 
  sⁿ = uⁿ - u_eⁿ - bu n-qadamda paydo bo‘ladigan xatolar vektori;
  
• 
  8^n+l = Gsⁿ - xatoliklarning o‘zgarishi, bunda G - o‘tish matritsasi;
  
• 
  Chiziqli tenglamalar uchun G - o‘tish matritsasi T - o‘tish operatoriga ekvivalent;
  

n+1\


Umumiy holda G = d(Tu)/du ; G_rv = d(u_rⁿ ydu_vⁿ ;


Usul ustivor bo‘ladi, agar jje'


n+11


n+1


ju


- u


n+1


jj ning qiymati uⁿ dan va xuddi

TE = u_eⁿ+¹ - LuУ = (du_e/dt + adu_e/dx)At + O(AxAt + At²) = At O(Ax+At).
shunday u_eⁿ dan ham bog‘liq bo‘lmagan o‘zgarmasga ko‘paytirilgan jjeⁿjj bilan chegaralangan bo‘lsa, ya’ni jjeⁿ+¹jj < (1+KAt) jjeⁿjj.
Agar vaqt otishi bilan aniq yechim o‘smasa, u holda sonli yechimda ham o‘sish sodir bo‘lmasligi, ya’ni K=0 bo‘lishi kerak.
Agar o‘tish tenglamasi ushbu s_r^n+l = g_r s_rⁿ diagonal ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsa, u holda ustivorlik uchun xatolarning xar bir xos vektori normasi o‘smasligi lozim, bundan esa quyidagiga ega bo‘lamiz:
Igr l = (gr gr) < 1 (barcha g lar uchun).
bunda g_r - bu o‘tish ko‘paytuvchisi g_r ga kompleks-qo‘shma miqdor.
Ustivorlikning fon Neyman bo‘yicha tahlili:
Faraz qilaylik, T(At,Ax) o‘tish operatori o‘zgarmas miqdorga teng. U holda u_jⁿ=u_kⁿ e^lkxj bog‘liq o‘zgaruvchilarning furye-modasi ustivorligini qarash mumkin va uning amplitudasi cheklanganligini talab qilish mumkin. Ustivorlik uchun g - o‘tish ko‘paytuvchisi modul jihatidan birdan oshmasligi kerak, ya’ni barcha furye-modalar uchun ||g|| < 1.

1. 
   misol. u_t + au_x= 0 tenglamaning oqimga qarshi ayirmasi quyidagicha:
   

(u?^+l - u”)/At + a(uⁿi - uⁿ-1 )/Ax = 0;
u_i”+¹ = uⁿ - a(uⁿ i - uⁿ_i-1 ); a = a At/Ax;
щ = щ - a(u k - e и k ) ^ g = 1 - a + a e ^
}j« л
^ gg = 1 - 4 a(1 - a)sin²(kAx/2).
Ustivorlik sharti - bu Kurant-Fridriks-Leva sharti: a = a At/Ax < 1.

2. 
   misol. u_t + au_x= 0 tenglamaning oqim bo‘ylab ayirmasi quyidagicha:
   

(u_iⁿ+¹ - u”)/At + a(uⁿ_i+₁ - uⁿi )/Ax = 0;
g = 1 + a - a e^lkAx ^ gg = (1+a)² + a² - 4 a(1 + a)cos²(kAx/2) > 1.
Demak bu sxema doimo noustivor.
3-misol. u_t + au_x= 0 tenglamaning markaziy ayirmasi quyidagicha:
(uiⁿ+¹ - u")/At + a(uⁿi+1 - uⁿi-1 )/(2Ax) = 0;
g = 1 - ia sin(kAx) ^ gg = 1+ a sin (kAx) > 1.
Demak bu sxema doimo noustivor. Bunga sabab qaralayotgan sxemaning mos emasligi.
Agar uning o‘rniga Laks sxemani qarasak, u holda quyidagi ustivor sxemaga ega bo‘lamiz:
uiⁿ+¹ =0,5(uⁿ_i+1 + uⁿi-1) - aAt (uⁿi+1 - uⁿ-_x )/(2Ax); Sxemaga furye-modani qo‘ysak,
* 9 9
g = cos(kAx) - ia sin(kAx) ^ gg = 1- (1-a )sin (kAx) < 1 Ustivorlik sharti (Kurant-Fridriks-Leva sharti):
a = a At/Ax < 1 yoki At < Ax/a .
Yaqinlashuvchanlik. Taqribiy yechim aniq yechimga yaqinlashadi, agar At—0 va nAt—T bo‘lganda ||uⁿ - u_eⁿ||—^0 bo‘lsa.
Ekvivalentlik haqidagi Laks teoremasi. Uni quyidagicha sxemalashtirish mumkin:
Approksimatsiya + Ustivorlik = Yaqinlashuvchanlik Boshqacha aytganda:
||uⁿ - u_eⁿ|| < ||Lu^n-1 - Lu_e^n-1|| + ||Lu_e^n-1 - Lu_eⁿll < ||u^n-1 - u_e^n-1|| +
+ At(L_p+_q=i Ax ^p At^q) < ||u⁰ - u_e⁰|| + nAt(L_p+q=l Ax ^p At^q)
Izlanayotgan yechimga At—0 va nAt—T bo‘lganda erishiladi.
Laks teoremasi faqat chiziqli ayirmali sxemalar uchun o‘rinli.
Aniqlik. Sonli yechimning aniqligi differensial sistema yechimining approksimatsiyasi kabi xatolarning ikkita manbai mavjudligi sababli yomonlashadi. Bulardan birinchisi approksimatsiya xatosi deb atalib, u differensial tenglamanlari o‘xshash ayirmalari bilan almashtirish natijasida paydo bo‘ladi. Bu almashtirishlarning asosida uzluksiz argumentni diskret nuqtalar ketma-ketligi bilan ifodalash yotadi. Bunda approksimatsiya xatosi vaqt va fazoviy to‘rlar qadamlari At va Ax lar miqdoridan bog‘liq va ularni baholash oson. Haqiqatan ham, ayirmali sxemani tanlashda approksimatsiya xatosini minimallashtirish sharti asosiy omillardan biridir.
Atroflicha olish xatosi xatolarning ikkinchi manbai bo‘lib, o‘zgaruvchilarning u yoki bu qiymatlarini hisoblash mashinasining xotirasida yozish aniqligidan bog‘liq. Odatda EHMda eksponensial shaklda ifodalangan sonlar ustida arifmetik operatsiyalar bajarilib, bu operatsiyalarning natijasida xatolik mavjud. Bu atroflicha olish xatoliklari zamonaviy hisoblash mashinalarida juda kichik. Ayirmali sistemalar xos vektorlarinng miqdoridagi bu xatoliklar ko‘p hollarda kichik amplitudali bo‘lib, izlanayotgan miqdorlarda uzluksiz holda yig‘ilib boradi. Shuning uchun shunday savol tug‘iladi: ayir,ali yechim chelanganmi, ya’ni ayirmali operatoming ixtiyoriy mumkin bo‘lgan xos vektori cheklanmagan holda osib boradimi? Bu savol ayirmali sxemaning eng muhim xossalaridan biri ustivorlik tushunchasi bilan bog‘liq.
Samaradorlik. Boshlang‘ich shartlar bilan berilgan masalaning har bir aniq sonli algoritmi uchun asosiy xossalardan biri uning samaradorligidir. Ma’lumki, har qanday hisoblash masinasi har bir operatsiyani bajarish uchun chekli vaqt sarflaydi va chekli hotiraga ega boladi, umuman aytganda, har qanay murakkab ayirmali sxemani amaliyotga qo‘llash maqsadga muvofiq emas. Aniq ayirmali sxemaning samaradorligini masalaning yechimini olishga ketadigan vaqt birligi ichida mashina markaziy protsessorida bajariladigan arifmetik, mantiqiy va almashinuvchan operatsiyalarning to‘la soni qanday ekanligi bilan aniqlash mumkin. Bir tomondan, agar murakkablashtirilgan atirmali sxema qo‘llanilsa, samaradorlik pasayadi, boshqa tarafdan esa eng murakkab algoritmni qo‘llash eng yaxshi aniqlikni beradi. Shuning uchun amaliyotda bir vaqtning o‘zida ham samarali va ham yetarlicha aniqlikka ega usulga erishish uchun qulay holatni tanlay bilish zarur bo‘ladi. Kam o‘zgaruvchili soddaroq (masalan, bir yoki ikki o‘lchovli) masalalarni yechish uchun ketadigan mashina vaqti kam, bunday hollarda yuqori tartibgacha aniqlikdagi sxemalardan foydalanish maqsadga muvofiq. Ayni paytda o‘ta murakkab masalalarni yechishda uni yechishning sxemasi samaradorligi yo‘lida uning aniqligidan qisman voz kechish foydadan holi emas.
Sababiylik. Bu asosan axborotni uzatish vaqtining yoki uning tarqalish tezligining cheklanganligidan kelib chiqadi. Bu yechish usulini tanlashdan boshlanadi. Fizik sabablarga ko‘ra fizik sistemada moddaning va energiyaning uzatilish tezligi cheklangan. Modda yoki energiya bir sohadan ikkinchisiga o‘tishda barcha oraliq sohalarni bosib o‘tishi lozim. Masalan oshkormas sxemalarda fazoning bir nuqtasidagi yechim uchun undan uzoqroq nuqtalar bilan bog‘lanish zarurati tug‘iladi. Bunda bir qancha oraliq hisob yacheykalari orqali masofaga axborot uzatilishi talab qilinadi, natijada bu sonli axborot uzatilishining tezligi oshib ketishiga olib keladi. Buni, masalan, zarbali to‘lqinlarda kuzatish mumkin.
Musbatlilik. Ba’zi miqdorlar, masalan, massaviy zichlik dastlab barcha nuqtalarda musbat bo‘lib, keyingi hisoblarda manfiy bo‘lib qolishi mumkin emas. Bu xossa ko‘chirish va diffuziya tenglamasi bilan ifodalanuvchi ixtiyoriy miqdorlar uchun o‘rinli. To‘lqin tenglamasi bilan ifodalanuvchi miqdorlar o‘z ishorasini almashtirishi mumkin. Masalan, konvektiv jarayonlar hisobida bir vaqtning o‘zida musbatlilik va konservativlik shartlarining qo‘yilishi juda foydali.
Qaytariluvchanlik. Bu xossa tenglamaning t ^ -t akslantirishga nisbatan invariantligini bildiradi. Bu xossaning bajarilishi to‘lqin tarqalishi va konveksiya jarayonlari hisobida muhim, diffuziya va ximik kinetikada esa ahamiyatga ega emas. Hisoblash ma’nosida bu tⁿ vaqt momentida hisobni to‘xtatib, vaqt qadamini manfiy qilib tanlab, yana boshlang‘ich t⁰ vaqt momentiga qaytib kelish xossasini bildiradi. Bu jarayonni amaliyotda tiklash juda ham og‘ir, chunki bunga tenglamadagi nochiziqli hadlarning mavjudligi, to‘rlarning qo‘zg‘aluvchanligi va boshqa murakkab effektlar yo‘l qo‘ymaydi.
Konservativlik. Chiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun anq ayirmali usuldan foydalanish mumkin, ammo nochiziqli had paydo b o‘lganda uning ayirmali differensialini yozishning ko‘plab usullaridan foydalanish mumkin. Xususiy hosilali tenglamalar bilan ifodalanuvchi ko‘plab fizik jarayonlar saqlanish qonunidan kelib chiqadi va ular konservativ deb ataladi: du/dt + Af = 0. Bunday masalalarni yechishni ijobiy hal qilish uchun ularga mos ayirmali tenglamalar ham konservativ bo‘lishi maqsadga muvofiq. Boshacha qilib aytganda, biz shunday ayirmali tenglamalarni tuzishimiz kerakki, bunda ular, masalan, tizimning energiyasi, massasi, impulssi, magnit maydonini chekli ayirmali to‘rlardagi xatolikdan bog‘liq bo‘lmagan holda saqlasin.
Transportivlik. Suyuqlik oqimini tavsiflovchi differensial tenglamaning chekli ayirmali analogi transportivlik xossasiga ega deyiladi, agar biror funksiyaga qo‘yilgan qo‘zg‘alishlar konveksiya hisobiga faqat tezlik yo‘nalishida ko‘chirilsa. Ko‘pgina sxemalar bunday xossaga ega emas. Konvektiv hadni ifodalash uchun tuzilgan barcha sxemalarda fazoviy koordinatalar uchun markaziy ayirmalar qo‘llaniladi va ular bunday xossaga ega bo‘lmaydi. Jarayon, masalan, «konveksiya hisobiga ko‘chiriladi» deb aytiladi, ammo uyurmaning fizik qo‘zg‘alishlari diffuziya hisobiga barcha yo‘nalishlarda tarqaladi, transportivlik xossasi yuzaga kelishi uchun esa bu qo‘zg‘alishlar faqat tezlik yo‘nalishida ko‘chirilishi lozim.
C
Xatolik Xatoliklar ta’sir
turlari etuvchi xossalar


Xatoliklar manbai

hekli-ayirmali xatoliklarning ba’zi turlari. Xatoliklarning eng yomoni dasturdagi xatoliklardir. Dasturdagi texnik xatolikni topish uchun juda ko‘p vaqt va qog‘oz sarflanishi mumkin. Dasturdagi xatolik emas, balki qo‘llanilayotgan algoritmning sifati pastligi va yo‘l qo‘yilgan adashishlardan qutilish uchun hisoblash xatoliklarining turlarini aniqlay olishimiz va ularni munimallashtirishimiz lozim. Bularni quyidagi jadval ko‘rinishida ifodalaylik:

Lokal xato	Konservativlik Qaytariluvchanlik Musbatlilik Aniqlik	EHM chekli razryadliligi (yaxlitlash xatoliklari) Approksimatsiya xatoliklari (vaqt bo‘yicha hosilalarda) EHM dagi to‘xtalishlar
Amplitudadagi xatolik	Konservativlik Qaytariluvchanlik Musbatlilik Sababiylilik Aniqlik	Approksimatsiya xatoliklari (fazoviy hosilalarda) Sonli noustivorlik Sonli diffuziya Yaxlitlash xatoliklari
Fazaviy xatoliklar	Sababiylilik Musbatlilik Aniqlik	Approksimatsiya xatoliklari (fazoviy hosilalarda) Sonli dispersiya Yaxlitlash xatoliklari
Gibbs xatoliklari	Sababiylilik Musbatlik Aniqlik	To‘rlarning cheklanganligi To‘rlardagi noaniqliklar Yaxlitlash xatoliklari

2.1.4. Ayirmali to‘rlardagi dispersiya va diffiziya



Fizik diffuziya jarayoni haqida biz yuqorida tuchuncha bergan edik. Sonli diffuziya chekli-ayirmali algoritmlardagi xatolikning eng mukim manbai hisoblanadi va u fizik diffuziya kabi shakl va ta’sir xarakteriga ega. Sonli diffuziyada ham va fizik diffuziyada ham, masalan, garmonik yechimning amplitudasi o‘zgaradi, faza esa o‘zgarmay qoladi. Diffuziya yonlanma ko‘rinishni (profilni) silliqlaydi. Buni quyidagicha izohlaymiz.
Y
1 к" - «r)+1 («г - +«r )= 1 («:,


■2< +)-