Reja: To’plamlar nazariyasi elementlari tatbiqiy masalalari

To‘plamlarni gеоmеtrik nuqtai nazardan yaqqol ko‘z оldiga kеltirish uchun, ular dоiracha (oval) ko‘rinishida bеlgilanadi. Masalan: to‘plam to‘plamning to‘plam оsti (qism to‘plami) ekanligi quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi:



Shuningdek, to‘plamlar ustida amallarni shunday tasvirlash mumkin:

A U B A ∩ B

A \ B



A ∆ B





To‘plamlarning bunday tasvirlanishi Eylеr-Vеnn diagrammalari dеyiladi.
3. Sonli to‘plamlar. Elementlari sonlardan iborat bo‘lgan to‘plamlar sonli to‘plamlar deb aytiladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami N={1,2,3,…n,…}, barcha butun sonlar to‘plami Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}, barcha ratsional sonlar to‘plami va hokazo.

N to‘plamda qo‘shish va ko‘paytirish amallari, Z to‘plamda qo‘shish, ayirish va ko‘paytirish amallari, Q to‘plamda esa qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish amallari aniqlangan.

4. Haqiqiy sonlar to‘plami. Davriy cheksiz o‘nli kasr shaklida ifodalanuvchi sonlar ratsional sonlar, davriymas cheksiz o‘nli kasr shaklida ifodalanuvchi sonlar esa irratsional sonlar deb ataladi.

Masalan, , 5, -3 sonlar ratsional sonlar, , , , ln 2 sonlar esa irratsional sonlardir. Ratsional va irratsional sonlarni boshqacha ta’riflashimiz ham mumkin: qisqarmas oddiy ko‘rinishda ifodalanuvchi son ratsional son, ratsional bo‘lmagan son irratsional son deb aytiladi.

Ta’rif. Ratsional va irratsional sonlar haqiqiy sonlar deyiladi. Barcha ratsional va irratsional sonlar to‘plami haqiqiy sonlar to‘plami deb ataladi va R simvol bilan belgilanadi.

R to‘plamda taqqoslash qoidasi, qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish amallari aniqlangan. Haqiqiy sonlar to‘plami quyidagi asosiy xossalarga ega.

1) agar a>b va b>c bo‘lsa, a>c bo‘ladi;

agar a=b va b=c bo‘lsa, a=c bo‘ladi.

Bu xossa > va = belgilarning tranzitivlik xossasi deyiladi.

2) a+b=b+a, ab=ba tengliklar o‘rinli.

Bu xossa + va * amallarining kommunikativlik xossasi deb ataladi.

3) (a+b)+c=a·(b+c), (ab)c=a(bc) tengliklar o‘rinli (assotsiativlik xossasi).

4) “nol son” deb ataladigan shunday son mavjudki, son uchun bo‘ladi. Bu xossaga “nolning maxsus roli” deb aytiladi.

5) “bir” deb ataladigan shunday son mavjudki, uchun bo‘ladi. (birning maxsus roli).

6) “ songa teskari son” deb ataluvchi shunday son mavjudki, bo‘ladi. (teskari sonning mavjudlik xossasi).

7) (ko‘paytirishning yig‘indiga nisbatan taqsimot qonuni).

8) bo‘lsa, har qanday s son uchun bo‘ladi.

9) agar va bo‘lsa, bo‘ladi.

10) Har qanday son uchun shunday son topiladiki, bo‘ladi (Arximid aksiomasi).

Haqiqiy sonlarning boshqa hamma asosiy xossalaridan kelib chiqadi.

3. Haqiqiy sonning moduli va uning asosiy xossalari ushbu

tengliklar bilan aniqlangan |x| son x haqiqiy sonning moduli yoki absolyut qiymati deb ataladi. Bu yerdagi | | belgi modul belgisi deyiladi.

Masalan, |2|=2, |–2|=(–2)=2

|0|=0, va hokazo.

Haqiqiy sonning moduli quyidagi asosiy xossalarga ega: