Reja: Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Reja:

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi.
1
2
3
Kesmani berilgan nisbatda boʼlish.
Tekislikda ikkita nuqtalar orasidagi masofa.
3
Uchburchak yuzini topish.

Tekislik va fazoda koordinatalar sistemasi

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Ta’rif. Tekislikda to’g’ri chiziqli (Dekart) koordinatalar sistemasi
deb umumiy kesishish nuqtasiga (koordinatalar boshiga ) va bir xil masshtab birliklariga ega bo’lgan hamda o’zaro perpendikulyar bo’lgan Ox va Oy o’qlarga aytiladi.
Ox – abssissalar o’qi, Oy – ordinatalar o’qi deyiladi. Ixtiyoriy
M nuqtadan Ox va Oy o’qlarga perpendikulyarlar tushiramiz.
x soni M nuqtaning abssissasi, y soni esa M nuqtaning ordinatasi
deyiladi. (x,y) juftlik M nuqtaning koordinatalari deyiladi.
René Descartes
(1596-1650)

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Tekislikda har bir nuqtaga haqiqiy sonlarning yagona (x,y) jufti mos keladi.
Nuqtalarning tekislikda joylashgan o’rnini aniqlash usuli koordinatalar usuli deyiladi.

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi

Tekislikda har bir nuqtaga haqiqiy sonlarning yagona (x,y) jufti mos keladi. Nuqtalarning tekislikda joylashgan o’rnini aniqlash usuli koordinatalar usuli deyiladi.
M(x,y) nuqtadan koordinatalar boshigacha bo’lgan masofa
𝑑 = 𝑥2 + 𝑦2
(1)
formula bilan topiladi.

Kesmani berilgan nisbatda boʼlish

Ixtiyoriy ikkita 𝑀1 masofa
𝑑 =
𝑥1; 𝑦1 va 𝑀2 𝑥2; 𝑦2 nuqtalar orasidagi
𝑥1 − 𝑥2
2 +
𝑦1 − 𝑦2
2
(2)
formula bilan topiladi.
Misol. 𝑀1 −2; 1 va 𝑀2 1; −3
toping.
nuqtalar orasidagi masofani
Yechish. (2) formuladan foydalanamiz:
𝑑 = 1 − (−2) 2 + −3 − 1 2 = 1 + 2 2 +
−3 − 1 2
= 32 + −4 2 = 9 + 16 = 25 = 5.

Kesmani berilgan nisbatda boʼlish

Tekislikda ixtiyoriy 𝑀1𝑀2 kesma va shu kesmada yotuvchi 𝑀 nuqta berilgan bo’lsin.
𝑀1𝑀 va 𝑀𝑀2 kesmalar yordamida
𝜆 =
𝑀1𝑀
𝑀𝑀2
(3)
nisbatni tuzamiz.

Kesmani berilgan nisbatda boʼlish

(3) tenglik bilan aniqlanadigan 𝜆 > 0 soni 𝑀1𝑀2 kesmani 𝑀 nuqta yordamida

𝝀 nisbatda bo’lish deyiladi.

Agar 𝑀 nuqta 𝑀1𝑀2 kesmani 𝜆 nisbatda bo’lsa, u holda 𝑀 nuqtaning koordinatalari

𝑥 = 𝑥1+𝜆𝑥2 , 𝑦 = 𝑦1+𝜆𝑦2

(4)
1+𝜆
formulalar bilan ifodalanadi, bu yerda
1+𝜆
𝑥1; 𝑦1 - 𝑀1 nuqtaning koordinatalari,
𝑥2; 𝑦2 esa 𝑀2 nuqtaning koordinatalari.

Kesmani berilgan nisbatda boʼlish

Agar 𝑀 nuqta 𝑀1𝑀2 kesmani teng ikkiga bo’lsa, u holda 𝑀 nuqtaning koordinatalari
𝑥 = 𝑥1+𝑥2 , 𝑦 = 𝑦1+𝑦2
2 2
(5)
formulalar bilan ifodalanadi.

Kesmani berilgan nisbatda boʼlish

Misol. 𝑀1
1; 1 va 𝑀2 7; 4 nuqtalar berilgan. Shunday 𝑀 nuqtani topingki, 𝑀1𝑀
masofa 𝑀𝑀2 masofadan ikki marta qisqa bo’lsin.
2
Yechish. Izlanayotgan nuqta kesmani 𝜆 = 1 nisbatda bo’ladi. (4) formuladan
foydalanib, topamiz:
1
𝑥1 + 2 𝑥2
𝑥 =
1 + 1
2
1
𝑦1 + 2 𝑦2
𝑦 =
1 + 1
2
Shunday qilib, 𝑀(3; 2) ekan.

Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari

Ox o’qdagi 𝐴(𝑥1), 𝐵(𝑥2) va 𝐶(𝑥3) nuqtalarga 𝑚1, 𝑚2 va 𝑚3 massalar qo’yilgan.
Bu sistemaning og’irlik markazi:
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3
𝑥 = .
А(х1)
В(х2)
х
С(х3)

Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari

Tekislikdagi 𝐴(𝑥1, 𝑦1), 𝐵(𝑥2, 𝑦2) va 𝐶(𝑥3, 𝑦3) nuqtalarga 𝑚1, 𝑚2
massalar qo’yilgan.
Bu sistemaning og’irlik markazi:
va 𝑚3
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑚1𝑥1 + 𝑚2𝑥2 + 𝑚3𝑥3
𝑥 = ,
𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3
𝑚1𝑦1 + 𝑚2𝑦2 + 𝑚3𝑦3
𝑦 = .

Ba’zi sistemalarning og’irlik markazlari

𝑀1 𝑥1; 𝑦1
𝑀2 𝑥2; 𝑦2
𝑀3 𝑥3; 𝑦3

Uchburchakning yuzi

Uchburchakning og’irlik markazi
𝑀1 𝑥1; 𝑦1 , 𝑀2
𝑥2; 𝑦2 va 𝑀3 𝑥3; 𝑦3 - uchburchakning uchlari bo’lsin.
𝐶
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3
𝑥 =
3
𝐶
3
𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3
𝑦 = .
Uchburchakning yuzi
𝑀1 𝑥1; 𝑦1 , 𝑀2 𝑥2; 𝑦2
va 𝑀3
𝑥3; 𝑦3 - uchburchakning uchlari bo’lsin.
2
1 𝑥1 𝑦1 𝑥2
𝑆 = 𝑥2 𝑦2 + 𝑥3
𝑥1
𝑦2 𝑥3 𝑦3
𝑦3 + 𝑦1 .

Foydali adabiyotlar ro’yxati

01
02
03
04
Claudio Canuto, Anta Tabacco. Mathematical Analysis I, (II). Springer-Verlag, Italia, Milan, 2008 (2015).
Б.А.Худаяров Математика. I-қисм. Чизиқли алгебра ва аналитик геометрия. Тошкент, “Фан ва технология”, 2018. -284 с.
Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами”
Тошкент “Ўзбекистон” 2018 йил. 304 б.
Э.Ф.Файзибоев, З.И.Сулейменов, Б.А.Худаяров “Математикадан мисол ва масалалар тўплами”, Тошкент, “Ўқитувчи” 2005 й. 254 б.