Reja: Murakkab funksiyaning limiti Ba’zi bir ajoyib limitlar. Murakkab funksiyaning limiti

Izoh. Agar almashtirishni amalga oshirsak, tenglikka ega bo’lamiz.

Misol.

.
Teorema.(Birinchi ajoyib limit) .
Radiusi R=1 bo’lgan markaziy burchakni qaraymiz (rasm).

A Х 0 С В D

Bu yerda . Ravshanki, , ya’ni . Boshqa tarafdan, ОАВ sektorning yuzasi ning yuzasida kichik: , ya’ni .

Demak uchun . Bu tengsizlikdan bo’lgani uchun

tengsizliklarga ega bo’lamiz.

Bu tengsizliklar x ni -x bilan almashtirganda ham o’zgarmaydi, chunki cos(-x)= cosx va ; .

Shuning uchun yuqoridagi tengsizliklar 0 dan farqli barcha x (- ) larda o’rinli. Shu bilan barcha 0<|x|< da 1-cosx=2sin

Demak 0<|x|< da tengsizlik o’rinli.

Shunday qilib, isbotlandi.

Misol.

1) .

2)

3)

Teorema. .

Hususiy holda, kelib chiqadi.

Teorema. .

y=a^x-1 desak, a^x=1+y, x=loga(1+y) bo’lib, x da y bo’ladi.

.

Hususiy holda, bo’ladi.

Xuddi shu usulda ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
(bu yerda ) ko’rinishdagi limitlarni hisoblashlashda 2 – ajoyib limitdan foydalaniladi:

Misol .

.