Reja: Eyler va Lagranj tenglamalari

Mavzu: Eyler almashtirishlari.

Reja:

1. 
   Eyler va Lagranj tenglamalari
   
2. 
   Eyler almashtirishlari
   

Eyler va Lagranj tenglamalari. Differensial tenglamalar orasida oddiy almashtirishlar vositasida o’zgarmas koeffisiyentli tenglamalarga o’tuvchi o’zgaruvchi koeffisiyentli tenglamalar ham uchraydi.

ko’rinishdagi tenglamaga Eyler tenglamasi deyiladi, bu yerda o’zgarmas sonlar. Agar tenglamada ni bilan almashtirsak tenglamaning ko’rinishi o’zgarmaydi. Demak, tenglamada erkli o’zgaruvchini

almashtirish bilan kiritsak, u holda ni bilan almashtirishda tenglama o’zgarmaydi, ya’ni hosil bo’lgan yangi tenglama ni oshkor ko’rinishda saqlamaydi. Erkli o’zgaruvchini almashtirishda tenglama chiziqli tenglamaga o’tmaganligi uchun, biz o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglamaga ega bo’lamiz.

Bu tasdiqni hisoblashlar vositasida bevosita tekshirishimiz mumkin. Biz funksiyaning bo’yicha hosilalarini (13) formula bo’yicha bo’yicha hosilalari orqali ketma ket ifodalaymiz:

Biz ko’ramizki, bo’yicha olingan birinchi, ikkinchi va uchinchi tartibli hosilalarni qatnashgan ifodalar mos ravishda va ko’paytuvchilarga ega. Faraz qilaylik bo’yicha olingan tartibli hosila

ko’rinishga ega bo’lsin, bu yerda o’zgarmas sonlar. U holda

bo’yicha olingan tartibli hosila

ko’rinishga ega bo’ladi va yana qavs oldida ko’paytuvchi , qavslar ichida esa bo’yicha birinchi tartibli hosiladan boshlab tartibli hosilagacha ifodalarning chiziqli kombinatsiyalari joylashgan. Demak ko’rsatilgan xossa ixtiyoriy natural soni uchun isbotlandi. Biz hisoblangan hosilalarni (1) tenglamaga qo’ysak, har bir uchun ifodani ko’paytirishlozim bo’ladi va shu bilan birga ni o’zida saqlovchi ko’rsatkichli ko’paytuvchilar qisqaradi hamda o’zgarmas koeffisiyentli chiziqli tenglama hosil bo’ladi.