Reja: Chiziqli fazolar

1.3. Qism-fazo.
Ta’rif 1.3. chziqli fazoning bo’ch bo’lmagan qism-to’plami unda aniqlangan qo’shish va songa ko’paytirish amallariga nisbatan chiziqli fazoni tashkil etsa, u holda u fazoning qism-fazosi deyiladi. Boshqacha aytganda, bo’lib, dan ixtiyoriy sonlar uchun kelib chiqsa, u holda ning qism-fazosi deyiladi.
Misol. 1.4. – oraliqda uzluksiz funksiyalar fazosida barcha algebraik ko’phadlar to’plami cheksiz o’lchovli qism-fazoni hosil qiladi (isbotlang).
1.4. Qavariq funksionallar.
Ta’rif 1.4. Agar haqiqiy chziqli fazoda aniqlangan manfiymas funksional quyidagi
1)
2) shartlarni qanoatlantirsa, u holda u qavariq deyiladi.
1.5. Normalashtirilgan fazolar.
Ta’rif 1.5. Faraz qilaylik, chiziqli fazo bo’lsin. da aniqlangan chekli qavariq funksional quyidagi
1)
2)
qo’shimcha sartlarni qanoatlantirsa, u norma deyiladi.
Ta’rif 1.6. Biror norma berilgan chiziqli fazo normalashtirilgan fazo deb aytiladi.
Agar istalgan normalshtirilgan fazoda masofa kiritilsa, u holda u metric fazoga aylanadi.
Misollar:
1.5. Elementlari dan iborat haqiqiy -o’lchovli fazo uchun deb olsak, u normalashtirilgan fazoga aylanadi.
1.6. Uzluksiz funksiyalarning fazosida normani formula orqali aniqlaymiz. Norma shartlari bajarilishini ko’rsating. Unda metrika qanday aniqlanadi?
1.6. Normalashtirilgan fazoning chekli o’lchovli qism-fazosi.
Normalashtirilgan fazolarda yopiq qism-fazolar (ya’ni barcha limitik nuqtalarini o’zida saqlaydigan) asosiy qiziqish uyg’otadi. Chekli o’lchovli normalashtirilgan fazolarda har qanday qism-fazo avtomatik ravishda yopiqdir (buni isbotlang). Cheksiz o’lchovli holda bu unaqa emas.
Masalan, fazoda barcha algebraik ko’phadlar fazosi qism-fazoni tashkil etadi. Lekin u yopiq emas. Nima uchun? Shu sababli, normalashtirilgan fazoning qism-fazosi deb endi faqat yopiq qism-fazoni atashga kelishib olamiz.