Referati tayyorladi: D. Shermatov Tekshirdi: X. Mo’ydinov Andijon 2023 Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

ekvivalent yoki teng kuchli deyilib, f (x) g(x) yozuvda ifodalanadi;

3. 
   Agar l = 0 bo`lsa, f (x) funksiya x → x₀ da g(x) funksiyaga nisbatan yuqori tartibli kichik deyiladi va f (x) = o(g(x)) yozuvda yoziladi;
   
4. 
   Agarda l = ∞ bo`lsa, unda g(x) = o(f (x)).
   

Masalan: 1. x → 0 da tg(2x) = 0*(5x), chunki lim ^tg2x ₌ ² .
x→0 5x 5

2. 
   x → 0 da x3 = o(x2), chunki lim→ xx32 = 0.
   

x 0

2. 
   x → ∞ da x x
   

2 = o(x3), chunki lim→ xx32 = 0.

2. 
   x → 0 da tg 2x sin 2x, chunki _lim ^tg2x ₌1. x_→0 sin 2x
   

Agar x → x₀ da α(x) funksiya cheksiz kichik bo`lsa, quyidagi teng kuchliliklar (ekvivalentliklar) o`rinli:

1. sin α(x) α(x); 2. tg α(x) α(x); 3. arcsin α(x) α(x).
4. arctg α(x) α(x); 5. log_a [1 + α(x)] α(x) log_ae.
6. ln[1 + α(x)] α(x); 7. 1 – cos α(x) ^2(x) .
2
8. a^α(x) - 1 α(x) lna; 9. e^α(x) - 1 α(x).

10. [1 + α(x)]ⁿ - 1 n α(x); 11. n1_+(x) ₋1 ^(x). n
Yuqorida keltirilgan ekvivalentliklardan funksiyalar limitini hisoblashda foydalanish maqsadga muvofiq.

Masalan, lim ln(1+ x3 ) = lim x23 = 2. x_→0 (1− cosx)arctgx x_→0 x x
2

Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiya uzluksizligi

1. Bir va ko`p o`zgaruvchili funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi y = f (M) = f (x₁; x₂; …; x_n) funksiya V R_n to`plamda aniqlangan
bo`lib, M₀(x₁⁰; x⁰₂; ...; x⁰_n ) nuqta V to`plamning quyuqlanish nuqtasi va
M<sub>0</sub> є V bo`lsin.
Funksiyaning nuqtada uzluksizligini, funksiya limitini ta`riflagan kabi, ikki teng kuchli ta`riflardan biri orqali aniqlash mumkin.
Har bir hadi V to`plamga tegishli va uning M<sub>0</sub> quyuqlanish nuqtasiga yaqinlashuvchi har qanday M<sub>1</sub>, M<sub>2</sub>, …, M<sub>k</sub>, … nuqtalar ketma-ketligi uchun, mos funksiya qiymatlari f (M<sub>1</sub>), f (M<sub>2</sub>), …, f (M<sub>k</sub>), … sonli ketmaketligi f (M<sub>0</sub>) songa intilsa, u holda f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
Har qanday oldindan tayinlanadigan ε > 0 son uchun M<sub>0</sub> nuqtaning shunday bir δ atrofi S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ni ko`rsatish mumkin bo`lsaki, barcha M є S<sub>δ</sub>(M<sub>0</sub>) ∩ V nuqtalar uchun |f (M) - f (M<sub>0</sub>) | < ε tengsizlik bajarilsa, f (M) funksiya M<sub>0</sub> nuqtada uzluksiz deyiladi.
y = f (M) funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada uzluksizligi lim f(M) ning
M→M0
mavjudligini va uning funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtada erishadigan qiymati f (M<sub>0</sub>) ga tengligini anglatadi, ya`ni lim f(M) =f(M₀) .
M→M0
lim f(M) =f(M₀ ) shart limf(M)−f(M₀)=0 shartga teng kuchli
M→M₀ M→M0
ekanligini e`tiborga olsak, argumentlar orttirmalari deb ataladigan x<sub>1</sub> − x<sub>1</sub><sup>0</sup> =x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> − x<sup>0</sup><sub>2</sub> =x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub> − x<sup>0</sup><sub>n</sub> =x<sub>n</sub> almashtirishlar va ularga mos funksiyaning M<sub>0</sub> nuqtadagi orttirmasi deyiladigan f (M) - f (M<sub>0</sub>) = Δf (M<sub>0</sub>) almashtirish kiritsak, shartlar
lim f(M<sub>0</sub>) = 0
x1→0
x2→0
.......... ..
xn →0
ko`rinishda yoziladi. Bu esa, funksiyaning nuqtada uzluksizligi, shu nuqtada barcha argumentlarning cheksiz kichik orttirmalariga funksiyaning ham cheksiz kichik orttirmasi mos kelishini anglatadi.
Xususiy holda, yuqorida keltirilgan ta`riflarni bir o`zgaruvchili funksiya uchun bayon qilishda M ni x bilan almashtirish kifoya qiladi.
Masalan:

1. 
   y = cos x funksiya har bir x₀ є R₁ nuqtada uzluksiz, chunki
   

lim f(x₀) =lim(cos(x₀+x)−cosx₀) =
x→0 x→0
=−2lim(sin 2x sin(x₀ +2x)) = 0
x→0

2. 
   y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_n x_n chiziqli funksiya har bir M(x₁; x₂; …; x_n) є R_n nuqtada uzluksiz va hokazo.