Referati tayyorladi: D. Shermatov Tekshirdi: X. Mo’ydinov Andijon 2023 Ko`p o`zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

3. Chegaralangan funksiya. Qavariq va botiq funksiyalar haqida tushuncha.
V₁ D(y) nuqtalar to`plamida berilgan y = f (x) funksiyaning V<sub>1</sub> da erishadigan qiymatlari to`plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo`lsa, funksiya V<sub>1</sub> da yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. y = f (x) funksiyaning yuqoridan (quyidan) chegaralanganligi, shunday bir K son mavjudligini anglatadiki, barcha M є V<sub>1</sub> nuqtalar uchun f (M) ≤ K (f (M) ≥ K) tengsizlik o`rinli bo`ladi.
V<sub>1</sub> D(y) nuqtalar to`plamida ham quyidan va ham yuqoridan chegaralangan funksiyaga, V₁ to`plamda chegaralangan funksiya deb ataladi. Ushbu holda, agar V<sub>1</sub> = D(y) bo`lsa, y = f (M) funksiya aniqlanish sohasida chegaralangan deyiladi va uning qiymatlari to`plami chegaralangan sonlar to`plamidan iborat bo`ladi.
Agar y = f (M) funksiya V<sub>1</sub> to`plamda yuqoridan (quyidan) chegaralanmagan bo`lsa, V<sub>1</sub> to`plamga tegishli {M_k} nuqtalar ketmaketligi mavjudki, lim f(M_k)=+( lim f(M_k)=−) munosabat
o`rinlidir.
Misollar:

1. 
   bir o`zgaruvchili y = x² funksiya aniqlanish sohasi R₁ da quyidan chegaralangan funksiyadir, chunki E(y)=[0; ∞);
   
2. 
   ikki o`zgaruvchili y <sub>=</sub> 1<sub>−</sub> x<sub>1</sub><sup>2</sup> <sub>−</sub> x<sup>2</sup><sub>2</sub> funksiya o`z aniqlanish sohasi D(y) = {M(x₁; x₂) є R₂ | x₁² + x₂² ≤ 1} to`plamda chegaralangandir, chunki E(y) = [0; 1].
   

y = f (M) funksiya qavariq V  R_n nuqtalar to`plamida aniqlangan
bo`lsin.
V qavariq to`plamga tegishli har qanday ikki M<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>; x<sub>2</sub>; …; x<sub>n</sub>) va M<sub>2</sub>(u<sub>1</sub>; u<sub>2</sub>; …; u<sub>n</sub>) nuqtalar va ixtiyoriy 0 ≤ α ≤ 1 son uchun f (P) ≤ α f (M<sub>1</sub>) + (1-α) f (M<sub>2</sub>) (f (P) ≥ α f (M<sub>1</sub>) + (1–α) f (M<sub>2</sub>)) tengsizliklar o`rinli bo`lsa, bu yerda R(α x<sub>1</sub> +(1–α)u<sub>1</sub>; α x<sub>2</sub> +(1–α)u<sub>2</sub>; …; αx<sub>n</sub> +(1-α)u<sub>n</sub>), u holda, y = f (M) funksiya V to`plamda qavariq (botiq) funksiya deyiladi.
Masalan, y = x² funksiya R₁ da qavariq funksiyaga misol bo`lsa, y
= -x<sup>2</sup> funksiya esa R<sub>1</sub> da botiq funksiyaga misol bo`ladi. n o`zgaruvchili chiziqli y = a₁x₁ + a₂x₂ + … +a_nx_n funksiya R_n fazoda bir vaqtda ham qavariq va ham botiq funksiyadir.
Qavariq funksiyalar quyidagi xossalarga ega:

1. 
   –f (M) funksiya V to`plamda botiq bo`lgandagina, f (M) funksiya V da qavariq funksiya bo`ladi.
   
2. 
   f₁(M) va f₂(M) funksiyalar V to`plamda qavariq bo`lsa, ularning ixtiyoriy nomanfiy k₁ va k₂ koeffitsientli chiziqli k₁f₁(M) + k₂f₂(M) kombinatsiyasi V to`plamda qavariq bo`ladi.
   
3. 
   f (M) funksiya V to`plamda qavariq bo`lib, {M є V | f (M) ≤ b} to`plam bo`sh bo`lmasa, bu yerda b ixtiyoriy son, u holda to`plamning o`zi ham qavariq to`plamdir.
   

Botiq funksiyalar ham yuqoridagi xossalarga o`xshash xossalarga ega.