Реферат на тему: Логарифм План: вещественный логарифм свойства Логарифмическая функция

1.4. Десятичные логарифмы

Рис. 2а. Логарифмическая шкала

Рис. 2б. Логарифмическая шкала с обозначениями
Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки. Подобная шкала используется во многих областях науки, например:

• 
  Физика — интенсивность звука (децибелы).
  
• 
  Астрономия — шкала яркости звёзд.
  
• 
  Химия — активность водородных ионов (pH).
  
• 
  Сейсмология — шкала Рихтера.
  
• 
  Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.
  
• 
  История — логарифмическая шкала времени.
  

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

2. Комплексный логарифм
2.1. Определение и свойства
Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначим  и определим как множество всех комплексных чисел z таких, что e^z = w. Комплексный логарифм существует для любого  , и его вещественная часть определяется однозначно, в то время как мнимая имеет бесконечное множество значений. По этой причине его называют многозначной функцией. Если представить w в показательной форме:
,
то логарифм  находится по формуле:

Здесь  — вещественный логарифм, r = | w | , k — произвольное целое число. Значение, получаемое при k = 0, называется главным значением комплексного натурального логарифма; принято брать в нём значение аргумента  в интервале ( − π,π]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается  . Иногда через  также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви.
Из формулы следует:

• 
  Вещественная часть логарифма определяется по формуле:
  

• 
  Логарифм отрицательного числа находится по формуле:
  

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями. Пример такой связи:


2.2. Примеры
Приведём главное значение логарифма для некоторых аргументов:

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:
iπ = ln( − 1) = ln(( − i)²) = 2ln( − i) = 2( − iπ / 2) = − iπ — явная нелепость.
Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви (k = − 1). Причина ошибки — неосторожное использования свойства  , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.