Реферат на тему: Логарифм План: вещественный логарифм свойства Логарифмическая функция

1.2. Логарифмическая функция
Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию y = log_ax (см. рис. 1). Она определена при  . Область значений:  .
Функция является строго возрастающей при a > 1 и строго убывающей при 0 < a < 1. График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0). Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.
Прямая x = 0 является левой вертикальной асимптотой, поскольку  при a > 1 и  при 0 < a < 1.
Производная логарифмической функции равна:

• 
  
  
• 
  
  

Доказательство ^[2]
I. Докажем, что 
Запишем тождество e^lnx = x и продифференцируем его левую и правую части
Получаем, что  , откуда следует, что 
II. Докажем, что 
■
Логарифмическая функция осуществляет изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел.

1.3. Натуральные логарифмы
Связь с десятичным логарифмом:  .
Как указано выше, для производной натурального логарифма справедлива простая формула:

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.
Неопределенный интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

Разложение в ряд Тейлора может быть представлено следующим образом:
при  справедливо равенство

(1)

В частности,

Формула (1) не имеет большой практической ценности из-за того, что ряд очень медленно сходится и значение x ограничено весьма узким диапазоном. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

(2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.