Реферат на тему: Логарифм План: вещественный логарифм свойства Логарифмическая функция

Реферат на тему:
Логарифм




План:
Введение

• 
  1 Вещественный логарифм
  
  • 
    1.1 Свойства
    
  • 
    1.2 Логарифмическая функция
    
  • 
    1.3 Натуральные логарифмы
    
  • 
    1.4 Десятичные логарифмы
    
• 
  2 Комплексный логарифм
  
  • 
    2.1 Определение и свойства
    
  • 
    2.2 Примеры
    
  • 
    2.3 Аналитическое продолжение
    
  • 
    2.4 Риманова поверхность
    
• 
  3 Исторический очерк
  
  • 
    3.1 Вещественный логарифм
    
  • 
    3.2 Комплексный логарифм
    
• 
  4 Логарифмические таблицы
  
• 
  5 Приложения
  

Литература
Примечания

Введение

Рис. 1. Графики логарифмических функций
Логари́фм числа b по основанию a (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число»^[1]) определяется как показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b. Обозначение:  . Из определения следует, что записи  и  равносильны.
Например,  , потому что  .

1. Вещественный логарифм
Логарифм вещественного числа log_ab имеет смысл при  . Как известно, показательная функция y = a^x монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа вcегда существует и определено однозначно.
Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

• 
  Натуральные:  , основание: e (число Эйлера).
  
• 
  Десятичные:  , основание: число 10.
  
• 
  Двоичные:  или  , основание: число 2. Они применяются в теории информации и информатике.
  

1.1. Свойства

• 
  Основное логарифмическое тождество: 
  
• 
  
  
• 
  Логарифм произведения: 
  

Доказательство
Докажем, что  .
(так как по условию bc > 0). ■

• 
  Логарифм частного от деления: 
  

Доказательство
Докажем, что 
(так как по условию  ■

• 
  Замена основания логарифма: 
  

Доказательство
Используем для доказательства тождество  . Логарифмируем обе части тождества по основанию c. Получаем:
■

• 
  Логарифм степени: 
  

Доказательство
Докажем, что  .
(так как b^p > 0 по условию). ■

• 
  Логарифм корня: 
  

• 
  Логарифм со степенным основанием: 
  

Доказательство
Докажем, что 
■

• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  
• 
  
  

Доказательство
Логарифмируем левую и правую части по основанию c:
Левая часть: 
Правая часть: 
Равенство выражений очевидно. Т. к. логарифмы равны, то в силу монотонности логарифмической функции равны и сами выражения. ■