Речной гидродинамики

Разделы 1.1 и 1.2 первой главы, вторая глава, а также основная часть раздела 
3.1 и подразделы 3.2.4 и 3.2.5 третьей главы написаны А.И. Алексюком. 
16
Модели мелкой воды в задачах речной гидродинамики

---

Часть I
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ТЕЧЕНИЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ
Глава 1. УРАВНЕНИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ
В настоящее время решение прикладных задач речной гидродинамики 
в рамках полных уравнений Навье-Стокса в большинстве случаев не пред-
ставляется возможным ввиду высоких требований к вычислительным ре-
сурсам и исходным данным (высокое разрешение рельефа дна, детальные 
сведения о начальных и граничных условиях). Однако для многих ситуа-
ций допустимо описывать течения в рамках модели мелкой воды, в которой 
основным предположением является малость вертикального масштаба по 
отношению к горизонтальному. Большой класс задач, решаемых в рамках 
этого приближения, в том числе включает течения с транспортом неодно-
родных наносов и переносом тепла. Кроме того допускаются обобщения 
на случай многослойных уравнений мелкой воды, позволяющих учитывать 
стратификацию плотности, температуры и существенно неравномерное 
распределение скорости по вертикали.
В главе приводится вывод классических уравнений мелкой воды из урав-
нений Навье-Стокса, а также уравнений вязкой мелкой воды, в которых учи-
тываются члены следующего порядка малости. Дополнительно рассматри-
ваются упрощенные модели, которые тоже использовались в монографии 
для решения практических задач (см. Часть II).
1.1. Уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости
Рассматриваются течения жидкости в поле силы тяжести, ограниченные 
в вертикальном направлении поверхностью дна и свободной поверхностью 
(Рис. 1.1.1). Предполагается, что жидкость непрерывно заполняет объемы 
пространства, при этом ее движение определяется распределениями плот-
ности 
ρ
(
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
t
), скорости (
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
t
) и давления 
p
(
x
1
, 
x
2
, 
x
3
, 
t
), явля-
ющимися функциями пространственных координат (
x
1
, 
x
2
, 
x
3
) и времени 
t
. 
Будем считать, что система координат декартова, а жидкость однородная и 
несжимаемая, т.е. 
ρ
= const. В этом случае законы сохранения массы и им-
пульса имеют вид
(1.1.1)