Размеўения и перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений и их свойства

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МАТЕМАТИКИ
Период накопления начальных математических сведений заканчивается в Древней Греции VI в до н э он включает в себя происхождение первых натуральных чисел и первых геометрических фигур и тел, математику Древнего Египта, в пирамидах. Важнейшим из дошедших до нас текстов является папирус Райнда содержащий 84 задачи. Носителями научных знаний в Древнем Египте были «писцы» — чиновники состоящие на государственной или храмовой службе. Положение писца в Древнем Египте было привилегированным. Работа в письме не облагалась налогами.
Писцы обучались в специальных школах имелись и высшие писцовые школы, которые торжественно назывались «дома жизни». Зафиксированы должности писца дома документов, писца войска писца царских работ, и т.д.
Математические знания древнего писца позволяли ему производить расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе имущества обмене и распределении продуктов, измерении площадей полей, объем плотин, зернохранилищ и т.п. Все задачи сводятся к вычислениям с конкретными количествами, числа как таковые, и методы решения не становятся еще предметом рассмотрения. Задачи группируются по темам (задачи на емкость, задачи на площадь и т.д.). Каждая задача решается заново, без каких-либо пояснений в числах, лишь иногда дается проверка найденного решения. Математика первого периода в Древнем Египте еще не разделяется на арифметику и геометрию, а представляет собрание примеров решения простейших прикладных задач. В современном мире школьнику и студенту пригодится решебник по алгебре онлайн бесплатно, чтобы не ударить в грязь лицом на уроках.
Другим источником изучения математики первого периода являются математические клинописные тексты Древнего Вавилона обнаруженные при археологических раскопках или найденные в развалинах старых сооружений. Среди разрозненного по музеям мира множества глиняных табличек самых разных эпох (от начала III тысячелетия до н. э.) обнаружено примерно 150 текстов математических задач и приблизительно 200 – с числовыми таблицами. Как и в Древнем Египте, в Древнем Вавилоне носителями научных знаний были «писцы». Они руководили общественными работами, занимались учетом хозяйств — составлением торговых документов и деловой перепиской. Писцы были связаны с храмами, где хранили клинописи. В Древнем Вавилоне специальность писца была в почете. «Тот, кто в совершенстве овладеет искусством писца на табличках, тот будет сверкать подобно солнцу». Писцы относились к правящему классу и нередко писцами становились сыновья правителей. Обучались писцы в академии — «Дом табличек». Писец должен был уметь писать понятно, хорошо знать математику, уметь межевать земли примирять спорщиков.
Задачи, решаемые в вавилонских клинописных текстах также как и в древнеегипетских папирусах, являются чисто практическими вычислительными задачами и излагаются догматически без каких-либо пояснений. Отличие, однако, состоит в том, что искусство счета вавилонян более совершенное, а решаемые математические задачи разнообразнее и сложнее. В Древнем Вавилоне впервые возникла позиционная система счисления, разработана алгебра линейных и квадратных уравнений, решаются простейшие теоретико-числовые задачи. Здесь же мы можем отметить начавшееся разделение математики на арифметику и геометрию, видеть и зачатки алгебры и теории чисел, а также появление и «теоретических» задач, т.е. задач не связанных с практикой, а обусловленные потребностью самой математики.
Математика в древних цивилизациях развивалась очень медленно. Иногда на протяжении целых веков не было никакого прогресса. Тенденция резко изменилась в VI в. до н.э. Так в Древней Греции, математика, за несколько десятилетий, из набора примеров для решения простейших прикладных задач, превращается в строгую дедуктивную науку.
Формируются первые математические понятия и аксиомы, строятся первые математические теории.
Интересно отметить, что греки приписывали радикальные перемены во всех областях общественной жизни, в том числе математики возникшему в то время в Греции, новому демократическому строю.
2-ой период развития математики с VI в. до н.э. по XVI в н.э. принято считать периодом математики постоянных величин. Его следует рассматривать как развитие математики Древней Греции, Римской Империи математику средневекового Китая средневековой Индии, стран ислама, средневековой Европы и математики эпохи возрождения.
Обратимся к каждому из названных течений:
Первые математические теории были доказаны учеными: ионийской школы натурфилософии в первой половине VI в. до н.э. Основателем школы считался Фалес — купец политический деятель, философ, астроном и математик, живший в Милете – богатой греческой колонии Малой Азии. Но коренное преобразование математики начинается с Пифагора (VI в. до н.э.). В V в. до н.э. Прокл напишет: «Пифагор преобразовал математику, рассматривал принципы чисто абстрактным образом и исследовал теоремы не с материальной, не с интеллектуальной точки зрения».
В школе Пифагора разрабатывается арифметика целых чисел выстраивается первая теория отношений, имеет место открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, представляется теория делимости основывается геометрическая алгебра, в которой задачи решаются построением с помощью циркуля и линейки. Все это относится к VI-V в. до н. э. Развивая математику пифагорейцев, греки в IV-III в. до н.э. выстраивают теорию канонических сечений (Менехм, Апполоний); создают новую теорию отношений (Евдокс); первый метод пределов (Евдокс); первые интегральные и дифференциальные методы (Архимед). Достижения греческих математиков были приведены в систему в «Началах» Евклида (III в. до н.э.). Со II в. до н.э. начинается спад греческой математики вызванный началом тяжелых разрушительных войн, приведших к созданию Римской империи и только в начале нашей эры греческая математика вновь начинает оживать. Уже в I в. н.э. в Александрии работают такие математики как Герон и Менелай, в середине II в. н.э. – Птоломей, в III в. н. э. создает свою алгебру Диофант.
Значительная часть знаменитой Александрийской библиотеки сгорела в I в н.э. при захвате римлянами Александрии и в последующем — христианами-фанатиками, лишь немногие рукописи уцелели и их перевод в VIII в. н.э. послужил толчком развития математики в странах Ислама и Европы.
Второй период развития математики нельзя представить без рассмотрения особенностей эволюции китайской математики. Необходимо отметить, что китайская цивилизация длительное время была почти полностью изолирована от остального мира. Это наложило свой отпечаток и на развитие китайской математики. Жаль, что китайские ученики не могут пользоваться на уроках интернетом, чтобы использовать онлайн решебник по алгебре.
Наиболее древние, дошедшие до нас математические тексты относятся к II в. до н.э. Исторические документы свидетельствуют, что в Китае математике уделялось большое внимание издавна, уже во II-й половине в. до н.э. были поставлены математическое образование и экзамены. В VII-X вв. в Императорской гимназии математика изучалась семь лет. Для занятия места чиновника в Китае требовалось сдать экзамены по математике кроме прочих. В течение многих веков переиздавались «Десять классических трактатов», содержащих основы китайской математики. Однако китайской математике был свойственен догматизм, проявляющийся в неизменности математических произведений – «классических трактатов» со II в до н.э. по IV в н.э. в, то время как греческие математические работы при переписке подвергались значительной обработке, дополнялись, комментировались. Исследования показывают, что математика Древнего и Среднего Китая вплоть до XIV в. развивалась преимущественно как совокупность вычислительных алгоритмов. Наиболее значительные из этих алгоритмов — метод «ФАН-ЧЕН» решение системы линейных уравнений и метод «ТЯНЬ-ЮАНЬ» приближенного решения алгебраических уравнений. Достижение Китайской математики — введение отрицательных чисел.
Необходимо отметить особое место и математики средневековой Индии. Первые индийские математические тексты относятся к VII-V в до н.э. Можно назвать крупнейших индийских математиков V-VII вв. н.э. — Ариабхата (V-VI в н.э.), Брахмапутра (VII в. н.э.), Магавира (IХ в н.э.), Шридхара (IX-Х вв. н.э.), Бхаскара (ХП в н.э.) Уже с первых веков н.э. прослеживается связь математики Индии с математикой Китая. Особенно усилившаяся в период распространения Буддизма и в это же время индийская математика распространяется на территории стран ислама.
Важнейшим достижением индийской математики является: создание арифметики на основе десятичной позиционной системы счисления, разработка тригонометрии, создание алгебраической символики.
В VII в. н.э. сторонники ислама, Халифы, подчинили себе Сирию, Междуречье, Иран, Египет, Среднюю Азию, Северную Африку, а позднее — Испанию, Сицилию и юг Италии, часть Закавказья и часть Индии.
Образование исламского халифата совпало со становлением феодального строя. В этот период образовались научные центры: Багдад — столица халифата, Бухара Хорезм, Каир, Кордова, Исфахан, Марага и многие другие. В IX-Х вв. н.э. работают такие известные математики как Ал-Хорезми, Ал-Беруни, Абу Камил, Ал-Мисри, Хасан ибн Ал-Хасан. А в XI в. н.э.- Омар Хаям, а в ХШ в н.э. — Насир ад-Дин ат-Туси, в ХУ в — Ал—Каши и т.д. Из достижений арабских математиков отметим работы по теории параллельных, алгебре и тригонометрии. Немаловажно было то, что арабские математики переписывали труды греческих математиков, комментировали их и совершенствовали их, переняли у индийской математики их десятичную позиционную систему счисления и все это послужило основой для последующего развития математики в Европе.
Социальный и политический климат, тип сложившейся формации определяют и состояние науки, в том числе и математической. Так, в середине I в. н.э. произошел политический распад Римской Империи вызванной кризисом рабовладельческой формации. Время господства феодальных отношений, продолжавшийся с V-VI вв. по XV-ХVI вв. именуется средними веками.
Основой развития науки служило интенсивное развитие Ремесел, товарного производства и торговли. Для развития математики большую роль сыграли переводы на латинский язык сочинений арабских математиков, особенно в XI-ХIII вв. Благодаря переводам европейцы знакомятся с трудами Архимеда, Полония, Евклида, Диофанта и других греческих математиков. Важную роль в развитии математики сыграло открытие университетов: древнейшего медицинского в Солерне (ХI в.), юридического в Болонье (1100 г.), Парижского (ХII в.), в XII-ХIII вв. — Оксфордского, Кембриджского (1209 г), затем в Праге (1348 г.), Кракове (1364 г.), в Вене (1365 г.), в Лейпциге (1409 г.), Базен (1469 г.) и т.д. Главными направлениями в университетах были: искусство, богословие, право, медицина.
В течение нескольких веков математика в университетах остается вспомогательной дисциплиной в Европе и это отрицательно сказывалось на знаниях студентов, но, несмотря на это, университеты были основными центрами, распространения математики. Из стен средневековых университетов вышли такие математики как Томас Брадверди в Англии, Николь Орем во Франции, Иоган Мюллер-Региомонтан в Германии, Николай Коперник в Польше и др.
XI-ХVI вв. вошли в историю Европы под названием «эпоха Возрождения», при этом имелось в виду возрождение того уровня культуры, который был достигнут в античном мире. Кроме того, надо отметить, что это период возрождения новой формации — буржуазного общества. Новый тип производства и отношений требует новых технических усовершенствований и изобретений, возрастает торговля, активизируется мореплавание и т.п. Все это ведет к тому, что научные знания становятся необходимым элементом общественной жизни, совершается культурная революция.
Развитию математики, с одной стороны, способствовали чисто практические (прикладные) соображения, а с другой — религиозные традиции утверждавшие, что Вселенная построена богом по математическому плану.
В XV-ХVI вв. математика развивалась, главным образом, в Италии Франции, Германии, а с конца ХVI в. в Голландии, пережившей буржуазную революцию. В эпоху Возрождения математики выходит за пределы знаний унаследованных от греков и народов Востока в это время идет проникновение индийской математики — вводится десятичная позиционная система счисления, вводятся десятичные дроби, отрицательные, иррациональные и мнимые числа, создается развитая алгебраическая символика. Тогда же были решены в радикалах алгебраические уравнения 3-ей и 4-ой степени, разработаны плоская и сферическая геометрия, усовершенствованы вычислительные методы.