Размеўения и перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений и их свойства

Граф и график соответствия. Соответствие, обратное данному. Виды соответствий.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между этими множествами. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 67).
Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, плодящихся в заданном соответствии:

1. 
   {(в₁,4),(в₃,20)};
   
2. 
   {(F₁,4),( F₂,10),(F₃,10)};
   
3. 
   {(y₁, 4), (у₂, 11),(y₃,4)}.
   

Рис. 67
Полученные множества показывают, что любое соответствие меж­ду двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упоря­доченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.
Определение. Соответствием между множествами X и Y назы­вается всякое подмножество декартова произведения этих мно­жеств.
Соответствия принято обозначать буквами Р, S, Т, К и др. ЕслиS-соответствие между элементами множествX иYто, согласно опреде­лению,S с Х х У.
Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множест­вами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно за­давать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либоуказав характеристиче­ское свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие меж­ду множествамиX - {1, 2, 4, 6} иУ = {3, 5} можно задать:

1. 
   при помощи предложения с двумя переменными: а < Ь при условии, чтоа €X, b €Y;
   

2. 
   перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения Х х У: {(1,3), (1,5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому спосо­бу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 68) и графика (рис. 69).
   

Нередко, изучая соответствие между множествами X иY, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например, S -соответствие «больше на 2» между множествами X = {4, 5, 8, 10} и Y = {2, 3,6}. Тогда S = {(4,2), (5, 3), (8,6)} и его граф будет таким, как на рисунке 70,а.
Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2», Оно рассматривается между множествами R и Х, и чтобы его предста­вить наглядно, достаточно на графе соответствия S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 70,6). Если соответствие меньше на 2» обозначить S^-1, то S^-1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}.

Рис.70 
Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: хSу. Запись хSу можно рас­сматривать как обобщение записей конкретных соответствий: x= 2у; х > 3у+1 и др.