Размеўения и перестановки с повторениями и без повторений. Сочетания без повторений и их свойства

3. Взаимно-однозначные соответствия

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соот­ветствия, обратного данному.
Определение. Пусть S - соответствие между множествами Х и У. Соответствие S^-1; между множествами Y и X называется обрат­ным данному, если уS^-1 тогда и только тогда, когда хSу.
Соответствия S и S^-1 называют взаимно обратными. Выясним осо­бенности их графиков.
Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 71, а). При построении графика соответствия S^-1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества Х= {4, 5, 8, 10}. В результате график соответст­вия S^-1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S^-1, условились первую компоненту пары соответ­ствия S^-1 считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3) € S, то (3, 5) € S^-1. Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в об­щем случае (х,у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S^-1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Рис.71
Чтобы построить график соответствия S^-1, достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графикаSотносительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

ОТНОШЕНИЕ НА МНОЖЕСТВЕ И ЕГО СВОЙСТВА.ОТНОШЕНИЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ И ПОРЯДКА
Пусть — произвольное множество. Семейство непустых и попарно не пересекающихся множеств называют разбиением множества , если объединение множеств семейства равно , то есть
Сами множества называют элементами (или членами) разбиения .
Например, множества и образуют разбиение отрезка . Тривиальными разбиениями являются, по определению, разбиение , состоящее только из самого , и разбиение, состоящее из всех одноэлементных подмножеств множества .
Пусть — эквивалентность на множестве и . Множество всех элементов , эквивалентных , т.е. множество , называют классом эквивалентности по отношению и обозначают . Отметим, что в силу рефлексивности для любого элемента класс эквивалентности не пуст, так как .