Raxmonov bahodir abduhamidovichning “S

1.1.2.1.-misol. - haqiqiy sonlar to‘plami. Agar ixtiyoriy soni uchun sonni mos qo‘ysak, normalangan fazoga aylanadi.
1.1.2.2. - kompleks sonlar to‘plami. Bu yerda ham norma yuqoridagidek kiritiladi: .
1.1.2.3. - - o‘lchamli haqiqiy chiziqli fazo. Bu fazoda

funksionallar norma shartlarini qanoatlantiradi. chiziqli fazoda norma kiritilgan bo‘lsa, uni , agar norma kiritilgan bo‘lsa uni deb belgilaymiz (1.3-1.5, 1.11-misollar bilan taqqoslang).
1.1.2.4. - o‘lchamli kompleks chiziqli fazo. Bu fazoda


1.1.3. Evklid fazolari. Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar ko‘paytma kiritishdir.
1.1.3.1-ta’rif. Bizga haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar dekart ko‘paytmada aniqlangan funksional quyidagi to‘rtta shartni qanoatlantirsa, unga skalyar ko‘paytma deyiladi:
1)
2)
3) ;
4) ,
1.1.3.2-ta’rif. Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va elementlarning skalyar ko‘paytmasi orqali belgilanadi.
Evklid fazosida elementning normasi
(3.1)
formula orqali aniqlanadi. Bu funksional norma aksiomalarini qanoatlantiradi. Skalyar ko‘paytmaning 1-4 shartlaridan normaning 1-2 shartlari bevosita kelib chiqadi. Uchburchak aksiomasining bajarilishi Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataluvchi quyidagi
(3.2)
tengsizlikdan kelib chiqadi.
Endi (3.2) tengsizlikni, ya’ni Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini isbotlaymiz. ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz:
.
Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni

Bundan
, ya’ni .
Endi (9.1) normauchunuchburchakaksiomasiningbajarilishiniko‘rsatamiz:

Bundan tengsizlik kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar ko‘paytma amallari uzluksizdir, ya’ni agar (norma bo‘yicha yaqinlashish ma’nosida), (sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda
.
Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha:




Evklid fazolarida nafaqat vektorning normasini (ya’ni uzunligini), balki vektorlar orasidagi burchak tushunchasini ham kiritish mumkin. Noldan farqli va vektorlar orasidagi burchakning kosinusi
(3.3)
formula bilan aniqlanadi. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligiga ko‘ra (9.3) ning o‘ng tomoni moduli bo‘yicha birdan oshmaydi va demak (9.3) formula haqiqatan ham, nolmas va vektorlar orasidagi burchakni bir qiymatli aniqlaydi.
Agar bo‘lsa, u holda va vektorlar ortogonal deyiladi.