Ravshanki, O’zgaruvchi X va y larining o’rinlarini almashtirib

Ravshanki, O’zgaruvchi x va y larining o’rinlarini almashtirib,
Y = const

bo’lganda

integral mavjud degan shart bilan huddi (4) kabi

Formulani ham isbotlash mumkin,

Eslatma: Agar (1) ikki qirrali integral bilan birga makkada oddiy integrallar

Ham mavjud bo’lsalar. U holda ikkaka (4) va (4*) formulalar ham to’g’ri bo’ladilar. Bundan esa

Ikki qirrali integral va oddiy integrallardan biri mavjud bo’lsa. (4) va (4*) formulani qo’llash mumkin. Agar f (x, y) formula uzluksiz (amaliyotda, odatda shu hol uchraydi) bo’lsa, yuqorida aytilgan hamda integrallarning mavjudligi ta’minlanadi. Bu holda ikki qirrali integralni amaliy hisoblash uchun yuqoridagi formulalarning istalganidan foydalanish mumkin, chunki oddiy integrallarni hisoblash ancha yengil masaladir.
(4) formulani isbotlayotganda (P) to’g’ri to’rtburchakni koordinata o’qlariga parallel chiziqlar bilan maydalab, yuzlari bo’lgan to’g’ri to’rtburchak ko’rinishidagi elementlar olinishi tabiiy bo’lar edi. Ikki qirrali integral simvolida uning ana shu usul bilan hosil qilinganligini ko’rsatish uchun

o’rniga ko’pincha

ni yozadilar. Undan tashqari to’g’ri to’rtburchak (P) = [a, b: , c,d] da berilgan ikki qirrali integral takroriy integralga keltirilishini e’tiborga olib , uni takroriy integralga o’xshash:

Kabi yozishadi. Bunday belgilashda “tashqi integral” “tashqi defferensialga” mos keladi va shunga ko’ra qavslar qo’yish bilan u yoki bu takroriy integral:

lardan biriga ega bo’lamiz.

Misollar: ni (4) formula bo’yicha ifodalash qulayroq:

Bundan, darhol,

Kelib chiqadi va, demak,

Ikkinchi takroriy integraldan foydalansak, kvadraturalar biroz murakkablashadi:

Bu javobni osongina yuqoridagi ko’rinishga keltirish mumkin

Isbotlash uchun bu holni 343- n^ da ko’rilgan holda keltiramiz. Aniqrog’i, (P) sohani (R)= [a, b; c, d] to’g’ri to’rtburchakka joylab ( bu yerda C ) [24-chizma] (R) da f* (x, y) funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:

Bu funksiya 343- n* dagi teorema shartlarini qanoatlantirilishini ko’rsataylik.

Avvalo y (R) sohada integrallanuvchi, chunki (R) sohada y, shartga ko’ra integrallanuvchi f (x, y) funksiyaga teng, shuning uchun

Ikkinchi tomondan, (R) dan tashqarida f* (x, y)=0, binobarin, y (R) to’g’ri to’rtburchakning qolgan qismi (Q)= (R)- (P) da ha, integrallanuvchi*)

Va

Bundan 341- n*, 2* ga ko’ra, f* funksiya butun to’g’ri to’rtburchak (R) da integrallanuvchi va

X ning [a, b] dagi o’zgarmas qiymati uchun

Integral ham mavjud, chunki o’ng tomondagi uchala integral mavjuddir.

Haqiqatdan ham, y ning o’zgarish oraliqlari va da f* ( x, y ) = 0 lligidan birinchi va uchinchi integrallar mavjud va nolga teng. Ikkinchi integral esa

Bo’lganligi uchun f (x, y ) dan olingan integralga teng:

Oxirida

Ega bo’lamiz.

Demak, 343- n* dagi teoremaga binoan, f* funksiya uchun takroriy integral ham mavjud va u ikki qirrali integralga teng [343- n*, (4) ga qarang]:

(7) va (8) munosabatlarni e’tiborga olsak, bu formulaning (6) formulaga teng kuchliligiga ishonch hosil qilamiz. Agar (P) soha boshqa tipdagi egri chiziqli trapetsiya

Bo’lsa, va egri chiziqlar hamda y=c, y=d to’g’ri chiziqilar bilan chegaralangan soha bo’lsa, ikki qirrali integral bilan bir qatorda y= const bo’lganda x bo’yicha oddiy integral mavjud bo’lsa, u holda (6) formula o’rniga

Ni hosil qilamiz,
Eslatma: Agar (P) soha konturi ordinate o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar bilan ham, abstissa o’qiga parallel to’g’ri chiziqlar bilan ham faqat ikkita nuqtada kesishadigan bo’sa ( masalan, 25-chizmada tasvirlangani kabi), u holda keltirilgan shartlar bajarilganida, yuqoridagi ikkala formulani ham qo’lannish mumkin. Ularni solishtirib, ushbu muhim tenglikni hosil qilamiz:

Bu 343- n* dagi (5) formulaga o’xshashdir.

Agar f (x, y ) funksiya (P) sohada uzluksiz bo’lsa, ikki qirrali va oddiy integrallarining har ikkalasi ham mavjud

bo’ladi, va sohaning tipiga qarab (6) yoki (6*) formuladan ikki qirrali integralni hisoblash uchun foydalanish mumkin.

(P) soha konturi murakkabroq bo’lgan hollarda, odatda y yuqorida ko’rib o’tilgan tipdagi bo’lgan chekli sondagi sohalarga ajraladi. Masalan 26-chizmadagi (P) soha x = x to’g’ri chiziq bilan uch bo’lakka ajraladi:

Bu holda (P) bo’yicha olingan integral 341- n , 2* ga ko’ra, har bir bo’lak bo’yicha olingan integrallarning yig’indisi kabi ifodalanadi, har bir integral esa yuqorida ko’rsatilgan usulda hisoblanadi.