R. M. Turgunbaev matematik analiz

2. Hosilaning fizik ma’nosi. Hosila tushunchasiga olib keladigan ikkinchi masalada harakat qonuni s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanayotgan moddiy nuqtaning t vaqt momentidagi oniy tezligi v_oniy = lim ^∆s ekanligini ko‘rgan edik. Bundan hosilaning fizik (mexanik) ma’nosi
∆t→0 ∆t
kelib chiqadi.
s=s(t) funksiya bilan tavsiflanadigan to‘g‘ri chiziqli harakatda t vaqt
momentidagi harakat tezligining son qiymati hosilaga teng: v_oniy =s’(t).
Hosilaning mexanik ma’nosini qisqacha quyidagicha ham aytish mumkin: yo‘ldan vaqt bo‘yicha olingan hosila tezlikka teng.
Hosila tushunchasi nafaqat to‘g‘ri chiziqli harakatning oniy tezligini, balki boshqa jarayonlarning ham oniy tezligini aniqlashga imkon beradi. Masalan, faraz qilaylik y=Q(T) jismni T temperaturaga qadar qizdirish uchun uzatilayotgan issiqlik miqdorining o‘zgarishini tavsiflovchi funksiya bo‘lsin. U holda jismning issiqlik sig‘imi issiqlik miqdoridan temperatura bo‘yicha olingan hosilaga teng bo‘ladi:
C= dQ = lim ∆Q . dT ^∆T^→0 ∆T
Umuman olganda, hosilani f(x) funksiya bilan tavsiflanadigan jarayon oniy tezligining matematik modeli deb aytish mumkin.
3. Urinma va normal tenglamalari.
Faraz qilaylik y=f(x) funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega, M(x₀;f(x₀)) funksiya grafigiga tegishli nuqta bo‘lsin. Funksiya grafigiga berilgan nuqtada o‘tkazilgan urinma tenglamasini tuzaylik.
Bu tenglamani y=kx+b ko‘rinishda izlaymiz. Izlanayotgan to‘g‘ri chiziq M(x₀;f(x₀)) nuqtadan o‘tishi ma’lum, shu sababli f(x₀)= kx₀+b tenglik o‘rinli. Bundan b=f(x₀)-kx₀ ekanligini topamiz. Demak, urinma tenglamasini y=kx+ f(x₀)- kx₀ yoki y= f(x₀)+k(x- x₀) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Agar urinmaning k burchak koeffitsienti hosilaning x₀ nuqtadagi qiymatiga tengligini e’tiborga olsak, y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan urinma tenglamasi quyidagicha bo‘ladi:
y= f(x₀)+f’(x₀)(x-x₀) (3.1)
Ma’lumki, agar k_urinma≠0 bo‘lsa, urinma va normalning burchak koeffitsientlari perpendikulyarlik sharti k_normal⋅k_urinma=-1 bilan bog‘langan bo‘ladi. Bundan y=f(x) funksiya grafigiga M(x₀;f(x₀)) nuqtasida o‘tkazilgan normal tenglamasini
y= f(x₀)- ¹ (x-x₀) (3.2) f'( x₀ )
keltirib chiqarish mumkin.
1-misol. Abstsissasi x=1 bo‘lgan nuqtada y=1/x giperbolaga o‘tkazilgan urinma va normal tenglamalarini tuzing.
Yechish. Bu misolda x₀=1, f(x₀)=1^{, f’(x)=- 1}₂ , f’(1)=-1. Bu qiymatlarni (3.1) x
formulaga qo‘yib urinma tenglamasini hosil qilamiz:
y=1-(x-1), ya’ni y=2-x;
(3.2) formuladan foydalanib, normal tenglamasini yozamiz: y=1+(x-1), ya’ni y=x.
2-misol. y=x² parabolaning A(0;-4) nuqtadan o‘tuvchi urinma tenglamasini yozing.
Yechish. Berilgan nuqta y=x² parabolaga tegishli emasligi ko‘rinib turibdi. Faraz qilaylik x=x₀ nuqta urinish nuqtasining abssissasi bo‘lsin. U holda f(x₀)=x₀², f’(x)=2x, f’(x₀)=2x₀. (3.1) formuladan foydalansak y= x₀²+2x₀(x-x₀)
ya’ni y= 2x₀x- x₀² (3.3)
tenglamaga ega bo‘lamiz.
Shartga ko‘ra urinma (0;-4) nuqtadan o‘tishi kerak. (3.3) tenglamada x va y o‘rniga 0 va -4 qiymatlarini qo‘yib x₀ ga nisbatan -4=- x₀² tenglamaga ega bo‘lamiz. Bundan x₀=2, x₀=-2 bo‘lishini topamiz.
Agar x₀=2 bo‘lsa, u holda urinma tenglamasi y=4x-4; agar x₀=-2 bo‘lsa, y=4x-4 bo‘ladi.
Shunday qilib, ko‘rsatilgan shartni qanoatlantiruvchi ikkita y=4x-4, y=-4x-4 urinma tenglamasini hosil qildik.