R. M. Turgunbaev matematik analiz

2. Egri chiziq urinmasining burchak koeffitsientini topish masalasi.
Endi G egri chiziq biror oraliqda aniqlangan uzluksiz y=f(x) funksiyaning grafigi bo‘lgan holda urinmaning burchak koeffitsientini topaylik. Qaralayotgan f(x) funksiya grafigini ifodolovchi G chiziqqa tegishli M₀ nuqtaning abssissasi x₀, ordinatasi f(x₀) va shu nuqtada urinma mavjud deb faraz qilaylik.
G chiziqda M₀ nuqtadan farqli N(x₀+∆x, f(x₀+∆x)) nuqtani olib, M₀N kesuvchi o‘tkazamiz. Uning Ox o‘qi musbat yo‘nalishi bilan tashkil etgan burchagini α bilan belgilaymiz (6-rasm). Ravshanki, α burchak ∆x ga bog‘liq bo‘ladi: α=α(∆x) va tg_α= ^BN ₌ ^∆y o‘rinli.
M ₀B ∆x
6-rasm
Urinmaning abssissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan hosil qilgan burchagini θ bilan belgilaymiz. Agar θ≠π/2 bo‘lsa, u holda tgα funksiyaning uzluksizligiga ko‘ra k_urinma=tgθ = lim tgα, va N nuqtaning M₀ nuqtaga intilishi
N→M₀
∆x yning 0 ga intilishiga teng kuchli ekanligini e’tiborga olsak, k_urinma = lim ^∆y
∆x→0 ∆x tenglikka ega bo‘lamiz.
Shunday qilib, y=f(x) funksiyaning abssissasi x₀ bo‘lgan nuqtasida novertikal urinma o‘tkazish mumkin bo‘lishi uchun shu nuqtada lim ^∆y limitning
∆x→0 ∆x mavjud bo‘lishi zarur va yyetarli, limit esa urinmaning burchak koeffitsientiga teng bo‘lar ekan.
3. Harakatdagi nuqta tezligini topish haqidagi masala. Faraz qilaylik moddiy nuqta s=s(t) qonuniyat bilan to‘g‘ri chiziqli harakatlanayotgan bo‘lsin. Ma’lumki, fizikada nuqtaning t₀ va t₀+∆t vaqtlar orasida bosib o‘tgan ∆s=s(t₀+∆t)s(t₀) yo‘lining shu vaqt oralig‘iga nisbati nuqtaning o‘rtacha tezligi deyilar edi:
vo‘rta= ∆s = s(t0 + ∆t ) − s(t0 ). Ravshanki, ∆t qancha kichik bo‘lsa, ∆s o‘rtacha