|
3.3. Чизиқли дастурлаш усули масаласининг умумий қўйилиши ва иқтисодий-математик модели.
Бирор миқдорнинг энг катта ва энг кичик қийматини топиш ва бундай қийматлар мавжуд бўлиш шартларини аниқлаш талаб қилинадиган масалаларни «экстремумга оид» масалалар деб аталади. Улар масаланинг моҳиятидан келиб чиққан ҳолда «максимум» ёки «минимум» (энг катта ва энг кичик) қийматни излаш масаласи деб ҳам аталади. Бундай масалаларни техника, табиатда, иқтисодиёт, бизнесда шуғулланувчи кишиларнинг кундалик фаолиятида турли қарорларни қабул қилишни асослашда доимо ечишга тўғри келади.
Бозор иқтисодиёти шароитида, унинг барча иштирокчилари ўз фаолиятларини максимал фойда олишга йўналтиради. Бунинг сабаби, пулга ҳар қандай товар ва хизматларни харид қилиш мумкинлигидир. Муваффақиятли фаолият олиб бораётган тадбиркор даромадининг бир қисмини олиб бораётган фаолиятини кенгайтиришга йўналтиради, яъни бизнесини кенгайтиради. Бундай масалаларда мақсад мезони чизиқли функция кўринишида берилади. Масалан, фирма хил маҳсулот ишлаб чиқарсин ва бозорда сотсин. Бунда унинг ишлаб чиқариш имкониятлари фирмадаги асбоб-ускуналарнинг ишлаш вақти, мавжуд хомашё, материаллар захиралари ва ишчилар сони билан белгиланади.
Рақобат шароитида корхона ва фирмаларни бошқариш ва режалаштириш жараёнида, иқтисодчи қуйидаги хусусиятларга эга бўлган масалаларга дуч келади:
1) изланаётган миқдорларга жуда кўп чекланишлар қўйилади;
2) масала чексиз кўп ечимга эга бўлиб, улардан энг яхшисини танлаб олиш керак бўлади.
Масаланинг бундай қўйилиши иқтисодчи ёки менежер учун катта қийинчиликлар туғдиради. Яқин вақтларгача бундай масалаларнинг кўпчилиги эмпирик йўл билан, яъни чекланишларга бўйсунувчи изланаётган миқдорлар танлаб олиш усули билан ҳал этилар эди. Яна ҳам аниқроқ ечим олиш учун бир неча вариант ўзаро солиштириб кўрилар ва энг яхшиси танлаб олинар эди. Бу танланган ечим энг яхши деган сўз эмас, албатта, чунки чексиз кўп ечимдан фақат бир нечаси олиб текшириларди.
Дастурлаш амалий жиҳатдан мумкин бўлган дастурни (режа, жадвал, тақсимот) аниқлашдан иборат, у маълум нуқтаи назардан қабул қилинган мезонга асосан оптимал бўлади. Математик дастурлашга фан сифатида Нобел мукофотининг лауреати, академик Л.В. Канторович асос солди.
Асосий тушунчалар. Чизиқли дастурлаш – чизикли функциянинг энг катта ва энг кичик қийматини ўзгарувчиларга нисбатан чизиқли чегаравий шартлар қўйилган ҳолда аниқлаш билан шуғулланадиган фан. Шунинг учун, чизиқли дастурлаш масалалари функциянинг шартли экстремум масалалари қаторига киради. Лекин чизиқли дастурлаш масалалари кўп ўзгарувчили бўлгани учун математик анализдаги функция экстремумини аниқлашнинг классик усулини тўғридан-тўғри қўллаш мумкин эмас. Шунинг учун чизиқли дастурлаш масалаларини ечишнинг махсус усуллари ишлаб чикилган. Улар ёрдамида, айниқса, иктисодий масалаларни ечиш мақсадга мувофик.
1-расм. Оптималлаштириш усулининг қўлланилиш шартлари
Чизиқли дастурлаш масаласининг қўйилиши.
Таъриф. Берилган
(1)
чизиқли чегаравий шартларни (чизиқли системани) қаноатлантирувчи ва
(2)
функцияга экстремум (max, min) киймат берувчи номанфий
(3)
ўзгарувчиларнинг қийматларини топиш масаласига чизиқли дастурлаш масаласи дейилади.
Бу ерда - берилган ўзгармас сонлар.
(1) тенгламалар ситемасидаги барча сонларни номанфий деб қабул қилиш мумкин.
Чизиқли дастурлаш масаласини турли шаклларда ёзиш мумкин.
а) Вектор шаклида:
(4)
чегаравий шартни қаноатлантирувчи ва
(5)
чизиқли функцияга min (max) қиймат берувчи векторни аниқлаш лозим.
Бу ерда , - скаляр купайтма.
- векторлар
б) Матрицали шаклда
Чизиқли функция
(5)
Чегаравий шартлар:
, (6)
бу ерда - бир қаторли матрица; .
(1) чизиқли системанинг коэффициентларидан тузилган матрица.
- устун матрица, - устун матрица.
в) Йиғинди белгиси билан берилган шаклда.
F= чизиқли функциянинг min (max) қиймати
шартларда аниқлансин.
Чизиқли дастурлаш масаласи вектор шаклида берилган бўлсин:
(7)
мақсад функциянинг min қиймати
(8)
, (9)
чегаравий шартларда топилсин.
Бу ерда ; , - скаляр купайтма.
– векторлар.
Чизиқли дастурлаш масаласи берилган: f - максад функция; (8), (9) - масаланинг чегаравий шартлари - берилган ўзгармас сонлар.
1-таъриф. (8), (9) - чегаравий шартларни қаноатлантирувчи - n ўлчовли вектор берилган чизиқли дастурлаш масаласининг жоиз ечими ёки режаси дейилади.
2-таъриф. (7) - мақсад функцияга min (max) қиймат берувчи – жоиз ечимни масаланинг оптимал ечими дейилади.
f - мақсад функциянинг - режадаги қиймати бўлсин.
Агар ҳар қандай учун тенгсизлик бажарилса, вектор берилган масаланинг оптимал ечими бўлади.
(7), (8), (9) кўринишда берилган чизиқли дастурлаш масаласининг вектор шаклини
(10)
(11)
, (12)
курайлик.
3-таъриф. (5) тенгламада мусбат коэффициентлар билан қатнашувчи векторлар ўзаро чизиқли боғлиқсиз бўлса, жоиз ечимни масаланинг таянч ечими дейилади.
Ҳар бир вектор m - ўлчовли бўлгани учун мусбат координаталар сони m дан ортмайди.
4-таъриф. Мусбат координаталар сони m га тенг бўлган таянч ечим - хосмас таянч ечим, акс холда эса хос таянч ечим дейилади.
5-таъриф. Чизиқли дастурлаш масаласининг (2) чизиқли тизими номанфий ечимга эга бўлмаса, масаланинг ўзи ҳам ечимга эга бўлмайди.
Do'stlaringiz bilan baham: |
