Qo‘shma operatorlar

15.2-lemma. Agar bo‘lsa, u holda

1)

2)

3) tengliklar o‘rinli.

Isbot. Birinchi tenglikni isbotlaymiz.

Bundan tenglik kelib chiqadi.

2) ni isbotlaymiz:

Bundan tenglik kelib chiqadi.

3) ning isboti bevosita qo‘shma operator ta’rifidan kelib chiqadi.

Endi operatorlarning Banax va Hilbert qo‘shmalarini topishga doir misollar qaraymiz.

15.1-misol. va o‘ngga siljitish operatori bo‘lsin (14.1-misolga qarang), ya’ni

bo‘lsin. ga qo‘shma operatorni toping.

Yechish. va lar Banax fazolari bo‘lganligi uchun operatorning Banax qo‘shmasini topamiz. Ma’lumki, operatorning Banax qo‘shmasi barcha va lar uchun

(15.6)

tenglikni qanoatlantiruvchi va fazoni fazoga akslantiruvchi operatordan iborat. Bizga ma’lumki, boshqacha aytganda har qanday uchun shunday yagona mavjudki,

(15.7)

tenglik barcha lar uchun o‘rinli bo‘ladi. Xuddi shuningdek, shunday mavjudki,

(15.8)

tenglik barcha lar uchun bajariladi. (15.7) va (15.8) tengliklarni hisobga olsak, berilgan operator uchun (15.6) shart quyidagi ko‘rinishga keladi:

. (15.9)

Bu tenglik barcha lar uchun bajariladi. Xususiy holda, elementlar uchun (15.9) tenglik

tengliklarga aylanadi. Shunday qilib, operator

formula bilan aniqlanar ekan.

15.1-teoremaga ko‘ra, ekanligidan ekanligi kelib chiqadi va tenglik bajariladi. Qaralayotgan misolda 15.1-teoremaning o‘rinli ekanligini tekshirib ko‘ramiz. operatorning chiziqli ekanligi uning aniqlanishidan ko‘rinib turibdi. tenglik bajarilishini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham,

15.2. fazoda ko‘paytirish operatorini, ya’ni (11.9-misolga qarang)

(15.10)

operatorni qaraymiz. Unga qo‘shma operatorni toping.

Yechish. Hilbert fazolari bo‘lganligi uchun ga Hilbert ma’nosidagi qo‘shma operatorni topamiz. operatorning chiziqli va chegaralanganligi 11.9-misolda ko‘rsatilgan. ga qo‘shma operatorni topish uchun skalyar ko‘paytmani qaraymiz. fazodagi skalyar ko‘paytmadan foydalansak,

Bundan

ni olamiz. Bu yerdan ning qo‘shmasi o‘ziga teng bo‘lishi uchun sonlarning haqiqiy bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.

15.3. kompleks Hilbert fazosida, funksiyaga ko‘paytirish operatorini, ya’ni

operatorni qaraymiz. Bu yerda chegaralangan va o‘lchovli funksiya. ga qo‘shma operatorni toping.

Yechish. Hilbert fazolari bo‘lganligi uchun ga Hilbert ma’nosidagi qo‘shma operatorni topamiz. funksiyaning chegaralangan va o‘lchovli ekanligidan operatorning aniqlanish sohasi ekanligi va ning chegaralangan ekanligi kelib chiqadi. Ta’rifga ko‘ra, operatorning qo‘shmasi hamma lar uchun

(15.11)

tenglikni qanoatlantiruvchi operatordan iborat. Agar biz fazodagi skalyar ko‘paytmadan foydalansak, (15.11) tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:

Bu tenglikdan

ekanligi kelib chiqadi. Bu yerdan bo‘lishi uchun, deyarli barcha larda bo‘lishi zarur va yetarlidir degan xulosaga kelamiz.

15.4. Endi Hilbert fazosida yadro bilan aniqlanuvchi integral operatorni, ya’ni

(15.12)

operatorni qaraymiz. Bu yerda - kvadratda aniqlangan chegaralangan va o‘lchovli funksiya. operatorga qo‘shma operatorni toping.

Yechish. funksiyaning chegaralangan va o‘lchovli ekanligidan, uning fazoga qarashli ekanligi kelib chiqadi. Fubini teoremasidan (19.1-teorema) foydalanib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

Bu yerdan

(15.13)

tenglik kelib chiqadi. Хususan, (15.12) ko‘rinishdagi operator fazoda o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lishi uchun, deyarli barcha lar uchun

(15.14)

tenglikning bajarilishi yetarli va zarurdir.