Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Mavzu: Qo'shish va ko'paytirish teoremalarining natijalari. Birgalikda bo’lgan hodisalar ehtimollari uchun qo’shish teoremasi. To’la ehtimol formulasi.
Gipotezalar ehtimoli. Beyes formulasi. Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli formulasi. Laplasning lokal va integral teoremasi
Tasodifiy miqdor. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Diskret tasodifiy miqdor ehtimollarining taqsimot qonuni. Binomial va Puasson taqsimoti.
Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va uning ehtimoliy ma’nosi, xossalari. Erkli sinashlarda hodisa ro'y berish sonining matematik kutilishi

Reja
1 . Qo'shish va ko'paytirish teoremalarining natijalari. Birgalikda bo’lgan hodisalar ehtimollari uchun qo’shish teoremasi. To’la ehtimol formulasi.

2. Gipotezalar ehtimoli. Beyes formulasi. Sinashlarning takrorlanishi. Bernulli formulasi. Laplasning lokal va integral teoremasi
3. Tasodifiy miqdor. Diskret va uzluksiz tasodifiy miqdorlar. Diskret tasodifiy miqdor ehtimollarining taqsimot qonuni. Binomial va Puasson taqsimoti.
4. Diskret tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi va uning ehtimoliy ma’nosi, xossalari. Erkli sinashlarda hodisa ro'y berish sonining matematik kutilishi.

1. 
   Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi.
   

Birgalikda boʻlgan hodisalar ehtimollari uchun qoʻshish teoremasi.
Biz birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun qo‘shish teoremasini ko‘rgan edik. Endi birgalikda bo‘lgan hodisalar uchun qo‘shish teoremasi bayon qilinadi.
Bitta sinashda ikkita hodisadan birining ro‘y berishi ikkinchisining ro‘y berishini inkor qilmasa, bu hodisalar birgalikda deyiladi.¹
Misol. A- o‘yin soqqasi tashlanganda to‘rt ochko chiqishi; B- juft sondagi ochko chiqishi. A va B hodisalar birgalikda.
A va B hodisalar birgalikda, shu bilan birga bu hodisalarning ehtimollari va ularning birgalikda ro‘y berish ehtimoli birgalikda bo‘lsin. A va B hodisalardan kamida bittasining ro‘y berishidan iborat bo‘lgan A+B hodisaning ehtimolini qanday topish mumkin? Bu savolga birgalikda bo‘lgan hodisalar ehtimollarini qo‘shish teoremasi javob beradi.
Teorema. Birgalikda bo‘lgan ikkita hodisadan kamida bittasining ro‘y berish ehtimoli shu hadisalarning ehtimollari yig‘indisidan ularning birgalikda ro‘y berish ehtimolini ayrilganiga teng:
.
Eslatma. Hosil qilingan formulani qpo‘llashda A va B hodisalar o‘zaro erkli ham, bog‘liq ham bo‘lishi mumkin ekanligini nazarda tutish kerak.
Erkli hodisalar uchun

bog‘liq hodisalar uchun
.
Eslatma. Agar A va B hodisalar birgalikda bo‘lmasa, u holda ularning birgalikda ro‘y berishidan iborat bo‘lgan hodisa mumkin bo‘lmagan hodisa bo‘ladi va demak, P(AB)=0. Birgalikda bo‘lmagan hodisalar uchun

formula quyidagi ko‘rinishni oladi:
.
Misol. Birinchi va ikkinchi to‘plardan o‘q otishda nishonga tekkazish ehtimoli mos ravishda p₁=0,7; p₂=0,8. Bitta otishda (ikkala to‘pdan) to‘plardan kamida birining nishonga tekkazish ehtimolini toping.
Yechish. Har bir to‘pning nishonga tekkazish ehtimoli boshqasining o‘q uzishiga bog‘liq emas, shuning uchun A (birinchi to‘pdan nishonga tekkazish) va B ( ikkinchi to‘pdan nishonga tekkazish) hodisalar erklidir.
AB (ikkala to‘pdan nishonga tekkazadi) hodisaning ehtimoli:
.
Izlanayotgan ehtimol quyidagiga teng:
.
Eslatma. Ko‘rilayotgan misolda A va B hodisalar erkli bo‘lganligi uchun p=1-q₁p₂ formuladan foydalanish ham mumkin edi.
Haqiqatan ham, A va B ga qarama-qarshi hodisalarning ehtimollari, ya’ni xato ketkazish ehtimollari quyidagicha bo‘ladi:
q₁=1-p₁=1-0,7=0,3;
q₂=1-p₂=1-0,8=0,2.
Izlanayotgan ehtimol, ya’ni ikkala to‘pdan bir yo‘la otishda kamida bittasining nishonga tekkazish ehtimoli quyidagiga teng:

Kutilayotganidek, bizga ma’lum natijani hosil qildik.