Qo`shish va ko`paytirish teoremalarning natijalari. Birgalikda bo`lgan hodisalar ehtimollari uchun qo`shish teoremasi. To`la ehtimol formulasi

Laplasning lokal teoremasi.
n ta sinashda hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimolini hisoblashga imkon beradigan Bernulli formulasini ko‘rdik. Bernulli formulasini n ning katta qiymatlarida qo‘llash qiyin, chunki formula katta sonlar ustida amallar bajariashni talab qiladi. Masalan, n=50, k=30, p=0,1 bo‘lsa, u holda ehtimolini hisoblasg uchun ifodani hisoblashga to‘g‘ri keladi., bu yerda
.
To‘g‘ri, faktariallar logorifmlari maxsus jadvallaridan foydalanib, bu hisoblarni bir oz soddalashtirish mumkin. Ammo bu yo‘l ham yzundan- uzoq hisoblashlarni talab qiladi, undan tashqari, u judayam qiyinchilikka ega: jadval logarifmlarning taqribiy qiymatlaridan tuzilgan, shuning uchun hisoblashlarda xatolar yig‘ilib boradi: pirovardida hisoblangan natija haqiqiy natijadan ancha farq qilishi mumkin.
Bizni qiziqtirayotgan ehtimolni Bernulli formulasini qo‘llamasdan hisoblash ham mumkinmi? Ha, mumkin ekan. Laplasning lokal teoremasi sinashlar soni yetarlicha katta bo‘lganda hodisaning n ta tajribada rosa k marta ro‘y berish ehtimolini taqribiy hisoblash uchun asimptotik formula beradi.(Agar funksiya f(x) funksiyaning asimptotik yaqinlashishi deyiladi).
Loplasning lokal teoremasi. Agar har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lib, nol va birdan faqli bo‘lsa, u holda n ta sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimoli P_n(k) taqriban (n qancha katta bo‘lsa, shuncha aniq)

funksiyaning dagi qiymatiga teng.
funksiyaning x argumentning musbat qiymatlaridan tuzilgan jadvallar mavjud (1- ilova) funksiya juft, ya’ni bo‘lganligi uchun bu jadvallardan argumentning qiymatlari manfiy bo‘lganda ham foydalaniladi.
Shunday qilib, n ta erkli sinashda A hodisaning rosa k marta ro‘y berish ehtimoli taqriban quyidagiga teng.:

Misol. Agar har bir sinashda A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, 400 ta sinashda bu hodisaning rosa 80 marta ro‘y berish ehtimolini toping.
Yechish. Shartga ko‘ra n=400; k=80; p=0,2; q=o,8. Laplasning asimptotik formulasidan foydalanamiz:

x ning masala ma’lumotlari orqali aniqlanadigan qiymatini hisoblaymiz:

Jadvaldan (1- ilova)
Ekanligini topamiz.
Izlanayotgan ehtimol:

Misol. Agar A hodisaning har bir sinashda ro‘y berish ehtimoli 0,6 ga teng bo‘lsin, bu hodisaning 2400 ta sinovda 1400 marta ro‘y berish ehtimolini toping.
Yechish. n katta son bo‘lgani uchun Loplasning lokal teoremasidan foydalanamiz:

x ni hisoblaymiz:

funksiya juft bo‘lganligi uchun .
Jadvaldan (1- ilova)

ni topamiz.
Izlanayotgan ehtimol:

Laplasning integral teoremasi.

Yana faraz qilaylik, n tajriba o‘tkazilayotgan bo‘lib, ularning har birida A hodisaningf ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas va p ga (0

₁ ta va ko‘pi bilan k₂ marta ro‘y berish ehtimoli P_n(k₁,k₂) ni qanday hisoblash mumkin. Bu savolga Laplasning integral teoremasi javob beradi, u quyida isbotsiz keltiriladi.⁴
Teorema. Agar har bir sinashda a hodisaning ro‘y berish ehtimoli p o‘zgarmas bo‘lib, nol va birdan farqli bo‘lsa, u holda n ta sinashda A hodisaning k₁ dan k₂ martagacha ro‘y berish ehtimoli P_n(k₁,k₂) taqriban quyidagi aniq integralga teng:

bu yerda
.
Laplasning integral teoremasini qo‘llashni taqazo etuvchi masalalarni yechishda maxsus jadvaldan foydalaniladi, chunki aniqmas integral elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. integral uchun jadval keltirilgan. Jadvalda Ф(х) funksiyaning x ning musbat qiymatlariga va x=0 ga mos qiymatlari berilgan; x<0 bo‘lganda ham shu jadvaldan foydalaniladi (Ф(х) funksiya toq, ya’ni Ф(-х)=-Ф(х)) .
Jadvalda integralning x=5 gacha bo‘lgan qiymatlari berilgan, chunki x>5 lar uchun Ф(x) funksiya ko‘pincha Laplas funksiyasi deyiladi.
Laplas funksiyasi jadvaldan foydalanish mumkin bo‘lishi uchun

munosabatni o‘zgartiramiz:

Shunday qilib, n ta erkli sinashda A hodisaning k₁ dan k₂ martagacha ro‘y berish ehtimoli
,
bu erda .
Laplasning integral teoremasini qo‘llashga doir misollar keltiramiz.
Misol. Detalni texnikaviy kontrol bo‘limi (OTK) tekshirmagan bo‘lish ehtimoli p=0,2. Tasodifiy olingan 400 ta detaldan 70 tadan 100 tagachasini OTK tekshirmagan bo‘lish ehtimolini toping.
Yechish. Shartga ko‘ra p=0,2; q=0,8; n=400; k₁=70; k₂=100.
Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz:

bu yerga .

Integralning yuqori va quyi chegaralarini hosoblaymiz:

Shunday qilib, quyidagini hosil qilamiz:

Jadvaldan (2-ilova) quyidagini topamiz:

Izlanayotgan ehtimol:

Misol. Hodisanng 100 ta erkli sinovning har birida ro‘y berish ehtimoli o‘zgarmas bo‘lib, p=0,8 ga teng. Hodisaning: a) kamida 75 marta va ko‘pi bilan 90 marta; b) kamida 75 ; v) ko‘pi bilan 74 marta ro‘y berish ehtimolini toping.
Yechish. Laplasning ushbu integral teoremasidan foydalanamiz :

Bu yerda Ф(х) –Laplas funksiyasi,

a)Shartga ko‘ra n=100; p=0,8; q=0,2; k₁=75; k₂=90. ni hisoblaymiz:

Laplasning funksiyasi toq, ya’ni ekanligini hisobga olib, quyidagini hosil qilamiz:

Jadvaldan (2- ilova) quyidagini topamiz:
Ф(2,5)=0,4938; Ф(1,25)=0,3944.
Izlanayotgan ehtimol:

b) Hodisaning kamida 75 marta ro‘y berish talabi hodisaning ro‘y berish soni 75 ga, yo 76 ga, ... , yoki 100 ga teng bo‘lishini anglatadi. Shunday qilib, qaralayotgan holda k₁=75; k₂=100 deb qabul qilish lozim. U holda

Jadvaldan (2-ilova) quyidagini topamiz:
Ф(5)=0,5; Ф(1,25)=0,3944.
Izlanayotgan ehtimol:
.
v)” A kamida 75 marta ro‘y berdi” va “A ko‘pibilan 74 marta ro‘y berdi” hodisalari qarama- qarshidir, shuning uchun bu hodisalarning ehtimollari yig‘indisi birga teng. Demak, izlanayotgan ehtimol:

3.