Qarshi davlat universiteti matematik analiz va differensial tenglamalar kafedrasi

3.2 Ikki oʻlchovli simpleksda aniqlangan kvazi novolterra kubik stoxastik operatorining qoʻzgʻalmas nuqtalari.
(3.1.6) operatorning qoʻzgʻalmas nuqtalarini tenglamani yechish orqali aniqlaymiz. Ya’ni
(3.2.1)
orqali operatorning barcha qoʻzgʻalmas nuqtalari toʻplamini belgilaymiz. .
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz: va .
Teorema. (3.1.6) operator uchun quyidagilar oʻrinli:

1. 
   b) .
   

Isbot. a) boʻlsin. Faraz qilaylik, ( hollar ham xuddi shunday tekshiriladi) boʻlsin. U holda (3.2.1) sistemaga koʻra, tenglamalar sistemasining yechimi ekanligi kelib chiqadi. Lekin ta’rifga koʻra . Bundan koʻrinadiki,

b) boʻlsin. (3.2.1) sistemaning birinchi va ikkinchi tenglamalarini ayiramiz:

yoki
(3.2.2)

Xuddi shunday (2.2.1) sistemaning birinchi va uchinchi tenglamalarini ham ayiramiz:

,
(3.2.3)
Ikkinchi va uchinchi tenglamalarning ham ayirmasini sodda holga keltiramiz:
(3.2.4)

uchun,
,

Faraz qilaylik boʻlsin. (3.2.2), (3.2.3) va (3.2.4) tenglamalardan va ekanligi kelib chiqadi. Bundan esa (3.2.5) munosabatga kelamiz. Shunday qilib, (3.2.1) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega.
Demak, nuqta (3.1.6) operatorning yagona qoʻzgʻalmas nuqtasi boʻladi.
Teorema isbotlandi.
Ta’rif 3.2.1 Agar operatorning qoʻzgʻalmas nuqtasi uchun yakobian birdan farqli ( ) boʻlsa, giperbolik nuqta deyiladi.
Ta’rif 3.2.2 Agar boʻlsa, tortuvchi giperbolik qoʻzgʻalmas nuqta deyiladi.
Ta’rif 3.2.3 Agar boʻlsa, itaruvchi giperbolik qoʻzgʻalmas nuqta deyiladi. Boshqa holda egar deb ataladi.
Qoʻzgʻalmas nuqtaning turini aniqlash uchun (3.1.6) operatorda almashtirishni kiritib, quyidagi koʻrinishga kelamiz:

bu yerda , - simpleksning koordinatalari.

(3.2.6) operatorning yakobianiga koʻra

Demak, (3.1.6) operatorning qoʻzgʻalmas nuqtasi itaruvchi nuqta.