Puasson tenglamasi uchun qо‘yilgan Dirixle ayirmali masalasining turg‘unligi va yaqinlashishi

Puasson tenglamasi uchun qо‘yilgan Dirixle ayirmali masalasining turg‘unligi va yaqinlashishi.

1. 
   Ayirmali sxemalarning turg‘unlik nazariyasi.
   
2. 
   Tejamli ayirmali sxemalar.
   
3. 
   Tо‘r tenglamalarini yechishning iteratsion metodlari.
   
4. 
   Tо‘r tenglamalarni yechish usullari. 
   

Elliptik turdagi tenglamaga qo‘yilgan Drixle masalasi uchun
to‘r usuli.
Birinchi chegaraviy masala yoki Puasson tenglamasi:
(10.4')
uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo‘yiladi G sohaning ichki nuqtalarida (10.4') tenglamani va G- chegarasida esa
u_g =(x,y)
shartni kanotlantiruvchi u=u(x,y) funktsiya topilsin. Mos ravishda Ox va Oy o‘qlarida h va l qadamlarni tanlab,

to‘g’ri chiziqlar yordamida to‘r quramiz va sohaning ichki tugunlaridagi

hosilarni (10.3) formula asosida (10.4') tenglamani esa quyidagi Chekli ayirmalar tenglamalari bilan almashtiramiz:
(10.5)
bu yerda (10.5) tenglama sohaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari bilan birgalikda tugunlaridagi u(x,y) funktsiya qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema to‘g’riburchakli sohada va l=k bo‘lganda eng sodda ko‘rinishga keladi. Bu holda (10.5) tenglama quyidagicha yoziladi.
(10.6)
CHegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy funktsiya qiymatlariga teng bo‘ladi. Agar (10.4) tenglamada f(x,y)=0 bo‘lsa

Laplas tenglamasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning Chekli ayirmalar tenglamasi quyidagicha:
(10.7)
Bu (10.6) va (10.7) tenglamalarni 10.4-rasmdagi tugunlar siemasidan foydaniladi. Bundan buyon rasmlardarda ( ) tugunlarni ularning indekslari bilan

10.4-rasm 10.5-rasm
almashtirib yozamiz. Ba’zan 10.5- rasmdagi kabi tugunlar sxemasidan foydalanish qulay bo‘ladi. Bu holda Laplas Chekliayrimalar tenglamasi quydagicha yoziladi.
(10.8)
‘uasson tenglamasi uchun esa:
(10.8’)
Differentsial tenglamalarni ayrimalar bilan almatirish xatoligi yaoni (10.8) tenglama uchun koldik had quyidagicha baholanadi.
bu yerda
Ayrimalar usuli bilan topilgan taqribiy yechim xatoligi uchta xatoligidan kelib chiqadi:
1) differentsial tenglamalarni ayrimalar bilan
almashtiridan
2) chegaraviy shartni a’’roksimatsiya qilishdan.
3) hosil bo‘lgan ayrimali tenglamalarni taqribiy yechishlardan.