1. Puasson tenglamasi. Derixle masalasi. Hosilalar approksimatsiyasi

Chiziqsiz elliptik turdagi tenglamalar uchun chekli ayirmali sxemalar
Reja:
1.Puasson tenglamasi.
2.Derixle masalasi.
3.Hosilalar approksimatsiyasi.

Birinchi chegaraviy masala yoki Puasson tenglamasi:

(10.4')
uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo‘yiladi G sohaning ichki nuqtalarida (10.4') tenglamani va G- chegarasida esa
u_g =(x,y)
shartni kanotlantiruvchi u=u(x,y) funktsiya topilsin. Mos ravishda Ox va Oy o‘qlarida h va l qadamlarni tanlab,

to‘g‘ri chiziqlar yordamida to‘r quramiz va sohaning ichki tugunlaridagi

hosilarni (10.3) formula asosida (10.4') tenglamani esa quyidagi chekli ayirmalar tenglamalari bilan almashtiramiz:
(10.5)
bu yerda (10.5) tenglama sohaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari bilan birgalikda tugunlaridagi u(x,y) funktsiya qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema to‘g‘riburchakli sohada va l=k bo‘lganda eng sodda ko‘rinishga keladi. Bu holda (10.5) tenglama quyidagicha yoziladi.
(10.6)
CHegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy funktsiya qiymatlariga teng bo‘ladi. Agar (10.4) tenglamada f(x,y)=0 bo‘lsa

Laplas tenglamasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning chekli ayirmalar tenglamasi quyidagicha:
(10.7)
Bu (10.6) va (10.7) tenglamalarni 10.4-rasmdagi tugunlar siemasidan foydaniladi. Bundan buyon rasmlardarda ( ) tugunlarni ularning indekslari bilan

10.4-rasm 10.5-rasm
almashtirib yozamiz. Bahzan 10.5- rasmdagi kabi tugunlar sxemasidan foydalanish qulay bo‘ladi. Bu holda Laplas chekliayrimalar tenglamasi quydagicha yoziladi.
(10.8)
Puasson tenglamasi uchun esa:
(10.8’)

Differentsial tenglamalarni ayrimalar bilan almatirish xatoligi yaoni (10.8) tenglama uchun koldik xad quyidagicha baholanadi.

bu yerda
Ayrimalar usuli bilan topilgan taqribiy yechim xatoligi uchta xatoligidan kelib chiqadi:
1) differentsial tenglamalarni ayrimalar bilan almashtiridan
2) chegaraviy shartni a’’roksimatsiya qilishdan.
3) hosil bo‘lgan ayrimali tenglamalarni taqribiy yechishlardan.
Tavsiya etilgan adabiyotlar ro`yxati Asosiy adabiyotlar

1. 
   A.A.Samarskiy. Teoriya raznostnыx sxem. Nauka. M.: 1989 g. – 616 s.
   
2. 
   Aripov M. Metod etalonnыx uravneniy dlya resheniy nelineynыx krayevыx zadach. – Tashkent: FAN, 1988. – 147s.
   
3. 
   M. I. Isroilov. Hisoblash metodlari. 2-qism. T.:Iqtisod-Moliya, 2008. – 320 b.
   
4. 
   M.P.Lapchik. Chislennыye metodы: Ucheb. posobiye dlya stud. vuzov //M.P.Lapchik, M.I.Ragulina, Ye.K.Xonner; pod red. M.P.Lapchika. – 2-ye izd., ster. –M.: Izd. Tsentr «Akademiya», 2005. -384 s.
   
5. 
   A. A. Samarskiy. Vvedeniye v chislennыye metodы. Ucheb. posobiye dlya vuzov. 3-ye izd., ster. –SPb.: Izd. «Lanь», 2005. – 288 s.