Предмет и задачи геодезии

БИЛЕТ № 17
1.Средние квадратические ошибки одного измерения и арифметической средины.
Исходя из четвертого свойства случайных ошибок при геодезических измерениях одинаковой точности, за окончательный результатпринимаютсреднее арифметическоеиз ряда измерений.
Если измерена одна и та же величина п раз и получены результаты: l₁, l₂ , l₃….l_n
(8)
Величина х называется арифметической срединой или вероятнейшим значением измеренной величины.
Разности между каждым измерением и арифметической срединой называются вероятнейшими ошибками измерений
(9)
Сложив равенства (9), получим
(10)
Из формул (8) и (10) следует, что  = 0.
Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле
(11)
где [v²]— сумма квадратов вероятнейших ошибок; п — число измерений.
Средняя квадратическая ошибка арифметической срединывычисляется по формуле
(12)
Предельная ошибка не превышает утроенной средней квадратической ошибки, т.е.
(13)
4.3 Средняя квадратическая ошибка функций измеренных величин
Если мы имеем функцию суммы или разности двух независимых величин
,
то квадрат средней квадратической ошибки функции выразится формулой
m_z²=m_x²+m_y²
При 

Пример. Линия на плане масштаба 1:5000 измерена по частям. Одна часть длиной 600,5 м, вторая часть длиной 400,0 м. Найти средние квадратические ошибки суммы и разности этих длин и соответствующие им относительные ошибки.
Ответ. Средняя квадратическая ошибка суммы и разности двух длин будет т_z= т =0,5м
= 0,7 м, где m = 0,5 м — точность масштаба. Относительные ошибки суммы и разности длин соответственно равны

Если функция имеет вид
,
то  (14)
т. е. квадрат средней квадратической ошибки алгебраической суммы аргументов равен сумме квадратов средних квадратических ошибок слагаемых.
Если m₁=m₂=m₃=…=m_n=m,то формула(14) примет вид
т. е. средняя квадратическая ошибка алгебраической суммы (разности) измеренных с одинаковой точностью величин в  раз больше средней квадратической ошибки одного слагаемого.
Пример. В шестиугольнике каждый угол измерен с одинаковой точностью 0,5', средняя квадратическая ошибка суммы всех измененных углов будет

Если функция имеет вид

то

где k₁, k₂, k_з, ..., k_п — постоянные числа; m₁,m₂,m₃,..., т_п — средние квадратические ошибки соответствующих аргументов. Если имеем функцию многих независимых переменных общего вида

то  . (15)
+Из формулы (15) следует, что квадрат средней квадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднюю квадратическую ошибку соответствующего аргумента.