Практикум с использованием миниатюрной электротехнической лаборатории мэл, компьютерного моделирования

Электрические цепи при импульсных воздействиях
В лабораторной работе исследуется воздействие импульсного сигнала на элек- трические цепи первого и второго порядка.
На рис. 7.2 показана форма импульсного сигнала с амплитудой E. На рис.7.3 показана эк- вивалентная схема подключения цепи с сопротивлением и емкостью (RC-цепи) к генератору им- пульсного сигнала.
В момент t  0 ключ K подключает RC-цепь к источнику напряжения E 1В с

T

внутренним сопротивлением R_вн и емкость заряжается. В момент
t  ключ K зако-

2

рачивает RC-цепь и емкость разряжается. В момент t  T
ся к источнику напряжения.
RC-цепь снова подключает-

Рис. 7.2. Форма импульсного сигнала

Рис. 7.3. Эквивалентная схема подключения RC-цепи к генератору Переходные процессы в цепях первого и второго порядка проще рассчитывать

для напряжения на емкости или для тока в индуктивности.
Расчет заряда емкости классическим методом
(первый интервал времени 0  t  ^T )

2

1. 
   Расчет режима до коммутации: u_C (0_)  u_C (0_)  0 .
   
2. 
   Расчет принужденного режима (считаем, что включенное напряжение E со- храняется бесконечно долго). При этом емкость должна зарядится до величины Е и, следовательно, u_Cпр  E .
   
3. 
   Дифференциальное уравнение цепи на первом интервале:
   

i  (R  R )  u  (R  R
)C  ^duC  u  E


(7.9)

вн C вн

4. 
   Характеристическое уравнение:
   

(R  R_вн )C  p 1  0,

dt ^C

p  ¹ .

(R  R_вн )C

5. 
   Свободная составляющая u_Cсв (t)  A  e ^pt .
   

Находим
A  u_Cсв (0_ )  u_C (0_ )  u_Cпр  E .


Следовательно, u_Cсв (t)  E  e
t


(R R_вн )C _.

6. 
   Полное напряжение на емкости
   


u_C (t)  u_Cпр  u_Cсв (t)  E(1 e

7. 
   Полное напряжение на сопротивлении
   

t

(R R_вн )C ₎

(7.10)

du E  R
_ t

u_R (t)  RC  ^C   e
(R R_вн )C
(7.11)

dt R  R_вн
Расчет разряда емкости

T

(второй интервал

T T T

 t  T )

2

T
_ 2

1. 
   В момент t 
   

2

u_C (
₂ )  u_C ( ₂
)  E(1 e
(R R_вн )C _{) .}

2. 
   В принужденном режиме u_Cпр  0
   

нечно долго и емкость полностью разряжается).
(считаем, что ключ закорачивает емкость беско-

3. 
   Дифференциальное уравнение цепи на втором интервале:
   

(R  R_вн
)C  ^duC

dt

• 
  u_C
  

 0 .

4. 
   Характеристическое уравнение в данной схеме не изменяется:
   

1

(R  R_вн )C  p 1  0,
p  .
(R  R_вн )C

5. 
   Свободная составляющая напряжения на емкости:
   

u (t)  B  e ^pt  u (^T )  e
t ^T ₂
(R R_вн )C

 E(1 e

 
(R R_вн )C _{)  e}
t ^T ₂
(R R_вн )C _.

Cсв Cсв ₂

6. 
   Полное напряжение на емкости на втором интервале равно свободной состав- ляющей, так как принужденная составляющая равна нулю:
   

u_C (t)  E(1 e

7. 
   Напряжение на сопротивлении:
   

 
(R R_вн )C _{)  e}
t ^T ₂
(R R_вн )C


(7.12)

u (t)  RC  ^duC  


E  R

 (1 e

 
(R R_вн )C _{)  e}
t ^T ₂
(R R_вн )C
(7.13)

^R dt R  R_вн
Расчет графиков переходных процессов в Mathcad
Рассчитаем, используя Mathcad, графики переходных процессов по формулам (7.10)-(7.13) для трех значений R (100 Ом, 500 Ом, 1000 Ом).

Рис.7.4. Графики напряжения на емкости для значений
R=100 Ом(1), 500 Ом (2) и 1000 Ом (3)

Рис.7.5. Графики напряжения на сопротивлении для значений R=100 Ом (1), 500 Ом (2) и 1000 Ом (3)

Как показывают графики при R=100 Ом переходной процесс в первом периоде

T

импульсного сигнала заканчивается за время
t  при включении источника напря-

2

жения и закорачивании цепи. При сопротивлении R=500 Ом и более переходный про-

цесс не заканчивается за время
t  ^T

2

и в следующих периодах надо учитывать не рав-

ное нулю напряжение на емкости u_C(T).
На рис. 7.4 проведена касательная к графику
u_C (t)

для R=500 Ом. Касательная

отсекает на линии принужденного режима ( u_Cпр  E 1В) отрезок равный постоян-

ной времени заряда емкости
τ_з  (R  R_вн )  С  510  68 10^9  35 мкс .

Этот метод используется для экспериментального определения постоянных вре- мени в цепях первого порядка. Аналогично с помощью касательной по графику пере- ходного процесса можно найти постоянную времени разряда емкости τ_р.
Для RL – цепи, состоящей из последовательного соединения индуктивности и

сопротивления (R  R_вн ) , постоянная времени
τ  ^L .
R  R_вн

Переходный процесс разряда конденсатора при последовательном соединении индуктивности, конденсатора и активного
сопротивления (цепь второго порядка)

Пусть при

c
u  iR  L ^di  0

dt

t  0_ u_C (0_)  U₀ . Дифференциальному уравнению электрической цепи второго порядка (рис.7.6) соответствует ха-

рактеристическое уравнение:
p²  ^R p  ¹  0

L LC

(7.14)

Характер переходного процесса зависит от значения корней уравнения (7.14):
p   ^R 

1,2
2L

R² 1

. При этом возможны три случая.

L

C

1. 
   При
   

4L²

• 
  , т.е. при добротности контура Q=
  

LC

<0.5, разряд в цепи

R

имеет апериодический характер: u_c  A₁e ^p1t  A₂e ^p2t ; i  C( p₁A₁e ^p1t  p₂ A₂e ^p2t ) .

Рис.7.6. Разряд емкости в RLC – цепи	Рис.7.7. Колебательный переходной процесс

2. 
   При
   

_R2
4L²
 , т.е. при добротности контура Q = 0.5, в цепи имеет место

1
LC

предельный случай апериодического разряда конденсатора. Сопротивление цепи

R  2


называется критическим, при этом
u_c  (A₁  A₂t)e ^pt .

_{R2 1}

3. 
   При  , т.е. при добротности контура Q>0.5 , корни характеристиче-
   

_4L² LC

ского уравнения комплексно-сопряженные: P_1,2  δ 
jω_c , где
_{δ } R
2L
- характери-

зует затухание процесса;
ω_c 
- угловая частота затухающих свободных

колебаний. Разряд конденсатора имеет колебательный характер с затухающей ампли-

тудой: u_c  Ae^-δt sin(ω_ct  ν) ,
A  U

0. 
   ^ω0 ,ν  arctg ^ωc .
   

^C ω_c δ
Для определения _с по изображению u_c на экране осциллографа следует изме-
2π

T
рить Т_с - период колебаний, затем вычислить ω_c  . Коэффициент затухания δ
c
можно вычислить из отношения напряжений, взятых в моменты t_i и t₁+T_с (рис. 7.7). Тогда

u(t₁)
U_cme^-δt1 sin(ω_ct₁  ν)

_δT ab

u(t

 T )
-δ(t T )
 e ^c
 . (7.15)

cd

_{1 c} U_cme
^{1 c sin} _^{ωc(t1  Tc)  ν}_