Практикум с использованием миниатюрной электротехнической лаборатории мэл, компьютерного моделирования

Уравнения частотных характеристик Т и П фильтров
Фильтрующие свойства определяются зависимостью от частоты характеристи-

ческого затухания a(ω)  ln(^U1 )
U₂
и характеристической фазы b(ω)  φ_{U 1}
 φ_{U 2} .

Уравнения частотных характеристик записывают по отдельности для полосы

пропускания и полосы задерживания.
В полосе пропускания:






a  0, b_ω_  arccos 1  ^{Z1 }
2Z


(6.3)

В полосе задерживания:
 2 

a(ω)=Arch 1 

, b  0 , если 1 
Z₁
2Z ₂

• 
  0 , b  π , если 1 
  

^Z1  0
2Z ₂


(6.4)

Характеристические сопротивления Т и П – образных фильтров

Для Т-образных фильтров Z_T 
(6.5)

Для П – образных фильтров

Z _П 


(6.6)

В полосе пропускания характеристические сопротивления активные, а в полосе задерживания становятся реактивными. Для согласования фильтра с нагрузкой сопро- тивление нагрузки требуется менять в соответствие с формулами (6.5) или (6.6), что трудно выполнимо на практике. Как правило, сопротивление нагрузки выбирают ак- тивным, как в полосе пропускания.
Уравнения частотных характеристик Г-образных фильтров
Симметричные Т и П- образные фильтры (рис.6.2) могут быть созданы каскад- ным согласованным соединением двух Г-образных фильтров. Поэтому при изменении
a(ω)

частоты характеристическое затухание Г – образного фильтра меняется как
b(ω)
, ха-

2

рактеристическая фаза меняется как
. Полоса пропускания Г – образного фильтра

2

совпадает с полосой пропускания Т и П – образных фильтров. Г – образный фильтр со

стороны Т – входа имеет характеристическое сопротивление
Z_T , а со стороны П –

входа имеет характеристическое сопротивление
Z_П .

Реактивные фильтры типа «k»
Фильтром типа «k» – называются такой, у которого в продольную и попереч- ную ветвь включены взаимообратные реактивные сопротивления и их произведение на любой частоте равно постоянной положительной величине k².
Схемы Г-образных звеньев типа «k» показаны на рис. 6.4. Основные расчетные

формулы даны в таблице 6.1. В таблице

n  ,
^ωc1 ^и
ωc2

граничные частоты

полосы пропускания, k – параметр фильтра. Для полосовых и заграждающих фильтров типа «k» должно выполняться условие:

При этом

L₁  C₁  L₂  C₂
ω₀ - резонансная частота продольной и поперечной ветвей.
(6.7)

Рис. 6.4. Схемы Г–образных фильтров типа «k»
Таблица 6.1

	ФНЧ	ФВЧ	ПФ	ЗФ
^ωc1	0	1 2 LC	^1( n^2 1  n) L1C1	^1( 16n^2 1 1) 4 L2C1
^ωc2	2 LC		^1( n^2 1  n) L1C1	^1( 16n^2 1 1) 4 L2C1
k	L C	L C	L1  L2 C2 C1	L1  L2 C2 C1

Симметричные Т-образные и П -образные фильтры типа «k» получают каскад- ным соединением Г-образных звеньев, показанных на рис.6.4. Нагрузка фильтра долж- на быть согласована и равна характеристическому сопротивлению. Для такого согласо- ванного режима уравнения частотных характеристик фильтров типа «k» представлены в таблице 6.2.
Для примера на рис.6.5 показаны графики a(ω) и b(ω) для симметричных Т и П
– образных ФНЧ.

Рис. 6.5. Графики характеристического затухания и характеристической фазы ФНЧ

Таблица 6.2

	a(ω)				b(ω)
	ПП	Полоса задерживания (ПЗ)			Полоса пропускния (ПП)		ПЗ
ФНЧ	0	Arch	 ω ^2 1  2   ^ωc 			  ω ^2 arccos^1  2  ^ ^ ^ωc  ^  		π
ФВЧ	0	2 Arch 1  2^^ω^c^  ω   			^^ω ^^2^ arccos^1  2 ^c ^ ^ ω  ^  		- π
ПФ	0	C ^ω ω ^^2 Arch 1  ^2   ^0  2C1  ω0 ω 			^C ^ω ω ^^2^ arccos^1  ^2   ^0  ^  2C1  ω0 ω    		π
ЗФ	0	Arch 1  ^C^2  ω ω ^2 2C1    ^0  ^ω0 ^ω			    arccos^1  ^C^2^ ^ 2 ^ ^2C   ^ω ^ω^0 ^ ^1  ^ω0 ^ω ^  		π

Характеристические сопротивления фильтров типа «k» рассчитывают по фор- мулам:

ФНЧ:
Z_Т  k
, Z_П  ;

k
 _ω ²
1  _{ ω }
 c 

k

ФВЧ:
Z_Т  k
, Z_П  ;

^ ω ^2
_{1  } c _
 ^ω 

k

ПФ: Z_T
 k 
, Z_П
 ;

C ^ ω
_{ω }2

1  ²  _
 0 _

4C₁
 ^ω0 ^ω 

ЗФ:
Z_T  k 
, Z_П  .

k
На рис.6.6 построены графики Z_Т и Z_П для ФНЧ и ФВЧ.

Рис.6.6. Графики характеристических сопротивлений Z_Т и Z_П

Как видно, характеристические сопротивления сильно зависят от частоты и со- гласование фильтра с нагрузкой во всем частотном диапазоне затруднительно. При расчете фильтров нагрузку обычно выбирают равной параметру фильтра «k».
При согласованной нагрузке комплексная частотная характеристика или частот-

ный коэффициент передачи
K ( jω)
фильтра как симметричного четырехполюсника с

постоянной передачи g  a 
jb определяется выражением:

Здесь
K (ω)



K ( jω)  K (ω)e ^jφ(ω)  ^{U 2}  e^g  e^a  e^{ jb}
U₁
– амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);


(6.8)
φ(ω) – фазо-

частотная характеристика (ФЧХ); a – коэффициент затухания; b – фазовый коэффици- ент, b  φ(ω) .
Из формулы (6.8) получим выражение для расчета a(ω):
a(ω)= - ln( K (ω)) (6.9)
Расчет в Mathcad АЧХ фильтра
Для выяснения влияния сопротивления нагрузки на форму АЧХ выполним рас- чет схемы ФНЧ рис.6.7, используя Mathcad.
Методом контурных токов несложно получить следующее выражение для АЧХ в схеме рис.6.7:

K_U (ω)  
(6.10)

Как видно из графиков рис.6.8 и рис.6.9 при согласованной нагрузке (R=326 Ом,

сплошные линии) в полосе пропускания АЧХ наиболее близка к 1, а коэффициент за- тухания наиболее близок к нулю. Выше частоты среза f_c=14680 Гц коэффициент зату- хания a(f) возрастает.

Рис. 6.7. Схема ФНЧ

Рис.6.8. АЧХ при R_н, равном 200 Ом (1), 300 Ом (2), 326 Ом (3), 400 Ом (4)

Рис.6.9. Графики коэффициента затухания при R_н, равном 200 Ом (1), 300 Ом (2), 326 Ом (3), 400 Ом (4)

2.