Практикум с использованием миниатюрной электротехнической лаборатории мэл, компьютерного моделирования

Глава 8. ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

1. 
   Краткие теоретические сведения и примеры расчетов линий с распределенными параметрами
   

Линией с распределёнными параметрами называется такая электрическая цепь, в которой элементарные параметры L, C, r, g и запасённая электрическая и маг- нитная энергия распределены вдоль всей длины цепи, а токи и напряжения в точке це- пи зависят от расстояния этой точки до источника.
Первичными параметрами линии называются электрические параметры, отне-

сённые к единице длины, а именно:
L₀ - погонная индуктивность (Гн/м); C₀ - погонная

емкость (Ф/м);
r₀ -погонное продольное сопротивление (Ом/м);
g₀ - погонная попереч-

ная проводимость изоляции (См/м). Линии с неизменными по длине первичными пара- метрами называются однородными.
Расчетная модель однородной линии показана на рис. 8.1.

Рис. 8.1. Расчетная модель однородной линии
Малый участок линии Δx имеет продольное сопротивление


r₀ Δx , индуктив-

ность L₀ Δx , поперечную проводимость g₀ Δx , емкость
C₀ Δx . На входе участка

напряжение u , ток i . На выходе участка напряжение ной схеме получаем следующую систему уравнений:
u  Δu , ток i  Δi . По расчет-

^u  ^x ^{ u}  ^{x  Δx} ^{ L Δx i  r Δxi}

0 _t 0
u


(8.1)

i _ x_  i _ x  Δx_  C₀Δx _t  g₀Δxu
При уменьшении Δx получим дифференциальные уравнения линии в частных производной при отсчете от начала линии:

• 
  ^u  L ^i  r i
  

x ⁰ t ⁰
i u


(8.2)

^ x ^{ C0} t

• 
  g₀u
  

Эти уравнения называют телеграфными уравнениями линии при отсчета от начала (переменными являются координата x и время t ). Таким образом, напряжение и ток в линии являются функциями двух переменных.
Если отсчет координаты вести от конца линии (переменными будут координата
y и время t ), получим телеграфные уравнения линии при отсчете от конца:

u _{ L}
^i  r i

y ⁰ t ⁰
i u


(8.3)

y ^{ C0} t

• 
  g₀u
  

Если на входе линии действует гармонический сигнал
e(t)  E_m sin ωt , то из

уравнений (8.2) можно получить обыкновенные однородные линейные дифференци-

альные уравнения для комплексных действующих значений напряжения и тока:

d ²U dx²
В уравнениях (8.4):
 γ²U  0 ;
d ² I
dx²
 γ² I  0


(8.4)

γ  _r₀ 



jωL_{0 } g₀ 
2πf
jωC_{0 }  α 
2π
jβ - коэффициент распространения; α - коэффици-

ент затухания; β  
V_Ф
- коэффициент фазы,

λ

V_Ф - фазовая скорость.

Решение уравнений (8.4) имеют следующий вид:
_{U (x) } ^{U1  Zв I1} _eγx _ ^{U1  Zв I1} _eγx

2 2

^{U  Z I} γx ^{U  Z I} γx
(8.5)

I (x)  ^{1 в 1} e
2Z_в
 1 в 1 _e
2Z_в

Первые слагаемые затухают при увеличении координаты x и представляют па- дающие волны напряжения и тока. Вторые слагаемые представляют отраженные волны и возрастают по мере приближения к нагрузке при увеличении x.
Уравнения (8.5) можно получить в гиперболической форме:
U (x)  U₁chγx  Z_в I₁shγx

I (x)  I chγx  ^U1 shγx
(8.6)

1 _Zв
Если отсчет вести от конца линии, когда задан режим в нагрузке (U ₂ , I ₂ ), то решение телеграфных уравнений имеет следующий вид:
U _ y_  U ₂chγy  Z_в I ₂shγy

^I  ^y  ^{ I chγy  U 2 shγy}
(8.7)

2 _Zв
В уравнения (8.6) и (8.7) входит важный параметр линии – волновое сопротивле-
ние:


Z _В  (8.8)

Коэффициенты
и волновое сопротивление
Z_в называют характери-

стическими параметрами линии.
Входное сопротивление в произвольной точке на расстояние y от конца, есть отношение напряжения в данном сечение к току в данном сечении:

^Zвх
( y)  ^{U  y}  Z
I _ y_
Z ₂chγy  Z_вshγy



^в Z_вchγy  Z ₂shγy


(8.9)

В согласованном режиме, когда Z ₂  Z_в , входное сопротивление линии в лю-
^{бом сечении постоянно и равно волновому сопротивлению: Z}_вx  ^y ^{ Z}_в ^{ const .}

Если потери в линии малы ( r₀  ωL₀ ,
g₀  0 и рассматривают линию без потерь.
g₀  ωC₀ ), то считают, что
r₀  0 ,

В линии без потерь коэффициент затухания
α  0 , коэффициент фазы

β  ω
, коэффициент распространения
γ  jω
 jβ , фазовая скорость

V  ^ω 
Ф _β
1
, волновое сопротивление



Z_в  . При этом уравнения линии

без потерь имеют следующий вид:
U ( y)  U ₂ cos βy 


j I ₂ Z_в sin βy

I ( y)  I ₂
cos βy 
j ^{U 2} sin βy Z_в
(8.10)

Входное сопротивление линии без потерь:

Z  Z
Z ₂ cos βy 
jZ_в sin βy
(8.11)

^{вх в} Z_в cos βy 
jZ ₂ sin βy

Задав величину фазовой скорости V_Ф в линии (например, V_Ф=3∙10⁸ м/сек для воздушной линии) и волновое сопротивление Z_в=1200 Ом, можно рассчитать первич- ные параметры линии без потерь L_o, C_о и длину отрезка имитированной линии l.
Режимы работы линии без потерь
Распределение напряжения по длине линии обусловлено наложением и интер- ференцией падающей и отраженной волны. В зависимости от характера нагрузки раз- личают:

• 
  режимы стоячих волн при нагрузке вида холостой ход, короткое замыкание, индуктивность, емкость;
  
• 
  режим бегущей волны при активной нагрузке, равной волновому сопротивле- нию линии;
  
• 
  режимы смешенных волн при активной нагрузке, не равной волновому сопро- тивлению линии.
  

Расчет распределения напряжения и тока по длине линии в Mathcad
По уравнениям (8.10), используя Mathcad, выполним расчет распределения напряжения и тока в модели линии, имеющей первичные парамет-

ры: L₀ 10^3Гн,C₀  500пФ, f
 200кГц .

Модель линии имеет на частоте f = 200 кГц следующие характеристические пара-

метры:
Z_В 1414Ом, λ  7,071м ,
β  0,889 . Графики показывают, что при разо-

мкнутой линии (хх), нагрузке на индуктивность, емкость (а также при короткозамкнутой линии) минимумы напряжения равны нулю. Их называют узлами напряжения. Максиму- мы называют пучностями напряжения. Нули и максимумы напряжения чередуются и по- вторяются через полволны. Такое устойчивое распределение узлов и максимумов напря- жения (и тока) называют режимом стоячих волн.

Рис.8.2. Графики распределения напряжения в линии при отсчете от конца (y=0) для следующих нагрузок: 1 – холостой ход, 2 – индуктивность X_L=500 Ом, 3 – емкость X_C=1000 Ом, 4 – резистор 707 Ом, 5 – резистор 1414 Ом = Zв,

6 – резистор 2828 Ом
При нагрузке на активное сопротивление, равное волновому сопротивлению Z_В (график 5), напряжение вдоль линии постоянно по амплитуде. Этот наиболее благопри- ятный режим для передачи информации и энергии называют согласованным режимом или режимом бегущей волны.
При нагрузке на активное сопротивление, не равное волновому Z_В (графики 4, 6), в линии возникает режим смешанных волн. Этот режим характеризуют коэффици-

ентом бегущей волны
^Кбв
_ ^Umin _.
^Umax

Согласование линии с нагрузкой
При сопротивлении нагрузки в конце линии Z₂, равном волновому сопротивле- нию Z_В (режим согласованной нагрузки) в линии будет существовать только бегущая
волна. Если Z_н  Z_В , то согласование нагрузки осуществляется с помощью отрезка
другой линии, включаемого между основной линией и нагрузкой.

Для случая линии без потерь при
Z_н  R_н  Z_В
длина согласующего отрезка

линии равна четверти длины волны, и такой отрезок линии называется четвертьволно- вым трансформатором.

Волновое сопротивление четвертьволнового трансформатора Z_ВТР можно опре-

делить по формуле:
^ZВТР ^{ .}

2.