Pifagor kirish

1-ta’rif. Agar shartni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi m bo’lsa, ildiz m ko’rsatkichga qarashli deyiladi.
Shunday qilib, ildizni m ko’rsatkichga qarashli desak, ta’rifga asosan, tenglik bajarilib, lekin m dan kichik har bir r musbat son uchun
5°. Agar ildiz m ko’rsatkichga qarashli bo’lsa,
(1.2.6)
qator har xil darajalardan iborat bo’ladi.
Chindan ham desak, kelib chiqadi, ammo bo’lgani uchun, bunday tenglik bajarilishi mumkin emas.
6°. m ko’rsatkichga qarashli ildizning istalgan butun(musbat, nol va manfiy) darajasi (1.2.6) darajalarning bittasiga teng.
Haqiqatan, ni m ga bo’lib,ushbunu hosil qilamiz:
(1.2.7)
Demak,

bunda huddi (1.2.6) darajalarning bittasidir.
Agar xususiy holda bo’lsa, albatta m ga bo’linadi. Haqiqatan, ga asosan, tenglikdan kelib chiqadi; ammo so’nggi tenglik shartda bajarilmaydi, shu sabali bo’lishi kerak. Demak, (1.2.7) tenglikdan ni hosil qilamiz.
(1.2.3) tenglamaning ildizi m ko’rsatkichga qarashli deganimizda, m ni n dan katta bo’lmasligi ravshandir, chunki , shu sabali bo’lsa, tenglikni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi m bo’lmas edi. Demak har vaqt .
2-ta’rif. (1.2.3) tenglamaning n ko’rsatkichga qarashli har bir ildizi boshlang’ich ildiz deyiladi.
Agar ildiz (1.2.3) tenglamaning n ko’rsatkichga qarashli, ya’ni boshlang’ich ildizi bo’lsa, ni 1 ning n ko’rsatkichga qarashli, ya’ni boshlang’ich n-darajali ildizi deb ham aytiladi.
(1.2.3) tenglamaning ildizi – boshlang’ich ildiz. Haqiqatan, (1.2.5) formulaga asosan,

Buni k- darajaga ko’tarsak,

hosil bo’ladi. Ma’lumki, faqat yoki eng kamida qiymatda ya’ni bajariladi. Demak bu so’nggi tenglikni qanoatlantiruvchi butun musbat sonlarning eng kichigi n ekan. Shu sabali, boshlang’ich ildiz.
(1.2.3) tenglamaning dan boshqa yana boshlang’ich ildizlari bo’lishi mumkin.
Teorema. (1.2.3) tenglamaning:

ildizi boshlang’ich bo’lishi uchun k va n sonlarning o’zaro tub bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, ildiz m ko’rsatkichga qarashli bo’lsin, ya’ni
(1.2.8)
yoki, ga muvofiq:

Endi, ildiz n ko’rsatkichga qarashli bo’lgani uchun, 6° xossaga muvofiq, albatta n ga bo’linadi:
km=nq. (1.2.9)
k va m ning eng katta umumiy bo’luvchisini d bilan belgilasak, va tengliklarga ega bo’lamiz, bunda va o’zaro tub sonlar. Bu qiymatlarni (1.2.9) ga qo’yib va d ga qisqartirsak:

So’nggi tenglik ning ga bo’linishini ko’rsatadi, lekin va o’zaro tub bo’lgani uchun, ga m bo’linadi.
Shunday qilib, m- bir tomondan, tenglikni qanoatlantiruvchi va, ikkinchi tomondan, ga bo’linuvchi eng kichik son bo’lishi lozim. Bu shartlarga bo’ysunadigan son ning o’zidir, chunki u, o’z-o’ziga bo’linadi va tenglikdan tenglik chiqadi. Demak ga asosan, tenglikdan:
(1.2.10)
kelib chiqadi.