Pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

12-chizma. 13-chizma.


Teorema. Muntazam n burchakning har bir burchagi ga teng bo’ladi.
Isbot. Avval tomoni n ta bo’lgan muntazam ko’pburchakning ichki burchaklari yig’indisini aniqlaymiz. Buning uchun muntazam ko’pburchakning ixtiyoriy uchini olib, uni barcha qo’shni bo’lmagan uchlari bilan diagonallar yordamida tutashtiraylik (13-chizma).
Bunda muntazam ko’pburchak n-2 ta uchburchakka ajraladi. Muntazam ko’pburchakning ichki burchaklari yig’indisi 180(n-2) ga teng.
Hamma burchaklar o’zaro teng bo’lgani uchun har bir burchakning kattaligi ichki burchaklar yig’indisining n ga nisbatiga, ya’ni

ga teng.
Muntazam ko'pburchakka ichki va tashqi chizilgan aylanalar chizish

Hamma uchlari biror aylanada yotgan ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan ko’pburchak deyiladi. Hamma tomoni biror aylanaga uringan ko’pburchak aylanaga tashqi chizilgan ko’pburchak deyiladi. Muntazam qavariq ko’pburchak aylanaga ichki chizilgan bo’lishi va aylanaga tashqi chizilgan bo’lishi mumkin. Tomoni a ga va tomonlarining soni n ga teng bo’lgan muntazam ko’pburchak uchun tashqi chizilgan aylananing R radiusini va ichki chizilgan aylananing r radiusini topamiz.

• 
  , , ;
  
• 
  Ichki burchagi – ;
  
• 
  Tashqi burchagi – ;
  

S_n – muntazam ko’pburchakning yuzi, P_n – muntazam ko’pburchakning perimetri bo’lsa, quyidagilar o’rinli:

• 
  ;
  
• 
  
  

= ;

• 
  ;
  
• 
  .
  

Teorema. Har qanday muntazam ko’pburchakka ichki va tashqi aylanalar chizish mumkin va bu aylanalarning markazlari ustma-ust tushadi.
Isbot. Muntazam ko’pburchak uchburchak va to’rtburchak bo’lganda teorema o’rinli ekanini ko’rish mumkin. Har qanday uchburchakka ichki va tashqi aylanalar chizish mumkinligini bilamiz. Markazlarining ustma-ust tushishi esa teng tomonli uchburchakda bissektrisa ham mediana, ham balandlik bo’lishidan kelib chiqadi. Chunki tomonlarning o’rta perpendikulyarlari bissektrisalar bilan ustma-ust tushadi. Muntazam to’rtburchak kvadratdir. Kvadratning diagonallari o’zaro teng va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo’linadi. Shuning uchun markaziy diagonallarning kesishish nuqtasida bo’lgan va radiusi diagonalning yarmiga teng aylana kvadratga tashqi aylana bo’ladi.
Markazi diagonallarning kesishish nuqtasida bo’lgan va radiusi kvdrat tomonining yarmiga teng aylana kvadratga ichki aylana bo’ladi (14-chizma).