Pedagogika 015, 2-son Muassis: Nizomiy

PEDAGOGIKA
2015, 2-son
 
 
51 
2-paradoks. Haqiqiy analizda 
2
1
1 x

va 
x
e funksiyalar ikkalasi ham 
haqiqiy o‘qda aniqlangan, uzluksiz, ixtiyoriy tartibli hosilalarga ega
1
. Ammo 
ularni 
𝑥 darajalari bo‘yicha qatorga yoysak, birinchi funksiya 
 
1;1

intervalda 
yaqinlashuvchi, ikkinchi funksiya sonlar o‘qida yaqinlashuvchi bo‘ladi. Uning 
sababini aniqlashga harakat qilamiz. 
Bu paradoksning yechimi berilgan funksiyalarni kompleks sohada qarash 
yordamida hal qilinadi. Kompleks tekislikda 
2
1
1 z

funksiyaning ikkita maxsus 
nuqtalari mavjud:
i

. Bu nuqtalar markazi 0 nuqtada radiusi 1ga teng aylanada 
yotadi. Shu sababli berilgan funksiya birlik aylana bilan chegaralangan sohada 
darajali qatorga yoyiladi, uning yaqinlashish radiusi 1ga teng bo‘ladi. 
z
e
funksiya kompleks tekislikda analitik, shu sababli uning yaqinlashish radiusi 
∞ga teng bo‘ladi. 
Matematik analiz kursidan ma’lumki, berilgan funksiyani Teylor qatoriga 
yoyish mumkinligi, uning yaqinlashish radiusi nimaga tengligi haqidagi yechish 
har doim oson masalalar bo‘lavermaydi. Kompleks analizda agar berilgan 
funksiyaning analitikligi va maxsus nuqtalari ma’lum bo‘lsa, bu ikki savolga 
javob berish oson: agar
z
a

berilgan funksiyaning to‘g‘ri nuqtasi bo‘lsa, u 
holda uni 
z
a

ning darajalari bo‘yicha qatorga yoyish mumkin bo‘lib, uning 
yaqinlashish radiusi 
𝑎 nuqtadan funksiyaning maxsus nuqtalarigacha bo‘lgan 
masofalarning kichigiga teng bo‘ladi. 
3-paradoks. Haqiqiy analizda 
 
2
1
,
0
0,
0
x
e
агар x
f x
агар x



 



funksiyaning 
barcha nuqtalarda hosilasi mavjud, 0 nuqtadagi ixtiyoriy hosilasi nolga teng 
ekanligi, 
bu 
funksiyaning 
0 
nuqta 
atrofida 
darajali 
qatori 
2
3
0
0
0
0
...
x
x
x
   
 

ko‘rinishda bo‘lib, 
 
f x
≢ 0 ekanligi ko‘rsatiladi
2
.
Agar 
2
1
z
e

funksiyani kompleks tekislikda qaraydigan bo‘lsak, u holda
0
z

nuqtadan tashqari barcha nuqtalarda, hatto 
z
 
nuqtada ham analitik. 
Shu sababli bu funksiyani noldan farqli bo‘lgan 
𝑎 nuqta atrofida Teylor qatoriga 
yoyish mumkin va uning yaqinlashish radiusi 
a
ga teng bo‘ladi. Xususan, 
0
a

haqiqiy son bo‘lsa, 
2
1
x
e

funksiyani ham 
x a
a
 
intervalda Teylor 
1