Программа вступительного испытания в аспирантуру направление подготовки

Тема 6. Квадратичные формы и квадрики 
Квадратичная форма и ее ранг. Приведение квадратичной формы к 
нормальному виду. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные 
формы. 
Аффинное n-мерное пространство. Аксиомы Вейля. k-плоскости. Квадрики 
в аффинном пространстве. Аффинная классификация квадрик. 
Евклидово n-мерное пространство. Основные понятия евклидова 
пространства по Вейлю. Понятия равенства отрезков и длины отрезка. Примеры 
доказательства теорем. Квадрики в трехмерном евклидовом пространстве. 
Тема 7. Проективная геометрия 
Проективная плоскость и ее свойства. Модели проективной плоскости. 
Проективный репер и проективные координаты точек и прямых. Принцип 
двойственности. Прямая и обратная теоремы Дезарга. 
Двойное отношение четверки коллинеарных точек и его свойства. 
Гармонические четверки точек и их связь с полными четырехвершинниками.
Проективные преобразования проективной плоскости и их свойства. Гомология и 
ее свойства. Аналитическое задание проективных преобразований.Проективные 
и перспективные отображения прямых и пучков. Инволюция. 
Линии второго порядка на проективной плоскости. Полюс и поляра. 
Поляритет. Прямая и обратная теоремы Штейнера. 
Тема 8. Элементы геометрии Лобачевского 
Плоскость Лобачевского. Параллельные и расходящиеся прямые на 
плоскости Лобачевского и их свойства. Угол параллельности и функция 
Лобачевского. Свойства треугольников на плоскости Лобачевского. 

---

 
Три типа пучков прямых на плоскости Лобачевского. Окружность, 
эквидистанта и орицикл и их основные свойства. 
Гиперболическое пространство Лобачевского. Модель Кэли-Клейна 
плоскости Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом плоскости 
Лобачевского. 
Тема 8. Топология 
Топология и топологические пространства. Примеры. Метрическая и 
евклидова 
топологии. 
Подпространства 
топологического 
пространства.Внутренние, 
внешние 
и 
граничные 
точки 
подмножеств 
топологического пространства. Оператор замыкания и его свойства.Связные и 
несвязные топологические пространства и их свойства. Примеры. Строение 
несвязных топологических пространств. Компоненты связности и их свойства. 
Базы топологии. Определение топологии посредством базы. Первая и вторая 
аксиомы счетности. Примеры пространств, удовлетворяющих этим аксиомам. 
Сепарабельность и ее связь со второй аксиомой счетности. 
Аксиомы отделимости. Примеры и свойства T
0 
и T
1
–пространств, 
нормальных пространств. Нормальность метрических пространств. 
Компактные топологические пространства и их основные свойства.Счетная 
компактность 
и 
ее 
связь 
с 
компактностью. 
Критерии 
счетной 
компактности.Критерии компактности подмножеств метрических и евклидовых 
пространств.