Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

Al-Xorazmiy ishlarida geomeriya 
Xorazmiy algebra asarining ikkinchi bo‘limi geometriyaga bag‘ishlangan bo‘lib, unda 
shakllarni o‘lchash qoidalari va algebraning ba‘zi bir geometrik masalalarga tatbiqi ko‘rsatilgan. 
Xorazmiy uchburchaklar, to‘rtburchaklar va aylana haqida yozadi. U uchburchaklarni, 
to‘g‘ri burchakli, o‘tkir burchakli va o‘tmas burchaklarga bo‘lib, bu hollarni aniqlash maqsadida 
uchburchak katta tomonining kvadrati bilan qolgan ikki tomoni kvadratlari yig‘indisi orasidagi 
munosabatda foydalanadi. Doira burchaklari, ularning xossalari, turlari, yuzlarini topish qoidalarini, 
Pifagor teoremasini va bir qancha geometrik masalalar echilishini bayon qiladi. Xorazmiy Pifagor 
teoremasini xususiy holda teng yonli uchburchak uchun isbotlaydi. 
U yozadi: to‘g‘ri burchakli uchburchakda, uning kichik tomonlari kvadratlarining 
yig‘indisi, tomonining kvadratiga teng, o‘tkir burchakli uchburchakda uning kichik tomonlari 
kvadratlarining yig‘indisi katta tomonining kvadratidan katta bo‘ladi. O‘tmas burchakli 
uchburchakda uning kichik tomonlari kvadratlarining yig‘indisi katta tomonining kvadratidan 
kichik bo‘ladi. 
Xaqiqatdan ham uchburchak tomonlarini a, b, c bilan belgilab, kosinuslar teoremasiga 
asosan c
2
=a
2
+b
2
-2ab cos

deb yozish mumkin, u vaqtda 
2



bo‘lganda, c
2
=a
2
+b
2 
bo‘ladi.
2



bo‘lganda a
2
+b
2
>c
2 
bo‘ladi.
2



bo‘lganda, a
2
+b
2
2
bo‘ladi. 
―Bilki, deb yozadi Xorazmiy, - har bir to‘g‘ri burchakli uchburchak shundayki, agar kichik 
tomonlarining har biri o‘z-o‘ziga ko‘paytirilsa va bu ko‘paytmalar qo‘shilsa, bu katta tomonining 
o‘z-o‘ziga ―ko‘paytmasiga teng bo‘ladi‖. Buni isbotlash uchun Xorazmiy ABCD kvadrat shakl 
yasaydi. Uning AC tomonini E nuqtada teng ikkiga bo‘lib, unga EG perpendikulyarni o‘tkazadi. 
AB ni F nuqtada teng ikkiga bo‘lib, ungi FH perpendikulyarni o‘tkazadi.U vaqtda ABCD shakl 
to‘rtta o‘zaro teng shakllardan iborat bo‘ladi. So‘ngra EF, FG, GH, HE chiziqlarni o‘tkazib, 
sakkizta o‘zaro teng uchburchaklar hosil qiladi. AF chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasi bilan AE 
chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasi birgalikda to‘rtta o‘zaro teng uchburchaklar yuzlarini hosil 
qiladi. FE chiziqning o‘z-o‘ziga ko‘paytmasi ham xuddi shunday o‘zaro teng uchburchaklar 
yuzlarini tashkil etadi. Isbot ana shundan iborat. 
Xorazmiy to‘rtburchaklar besh xil shaklda bo‘lishini yozib, ularning yuzlarini topish 
qoidalarini bergan. Shu jumladan, rombning yuzi uning dioganallari yoki bir dioganali va tomoni 
orqali ifodalanishi mumkin deb yozadi. 
Bu bobda Xorazmiy amaliy ahamiyatga ega bo‘lgan bir qancha geometrik masalalar va 
ularni echish usullarini bayon etadi. 
Masalan, tomonlari BC=15, AB=14, AC=13 bo‘lgan o‘tkir burchakli uchburchak yuzini 
Xorazmiy quyidagicha topadi. 7-shakl. 
S 
A x D B 7-shakl 
Pifagor teoremasiga asosan: h
2
=15
2
-(14-x)
2
va h
2
=13
2
-x
2
. Demak, 15-(14-
x)
2
=13
2
-x
2
, bundan 28x=140, x=5, u vaqtda h
2
=169-25=144, h=12. Uchburchakning yuzi: 
84
12
14
2
1
2
1






h
AB
S
(kv.birlik) 
h 

---

86 
Er uchastkalarini o‘lchashga doir masalani Xorazmiy shunday hal etadi: ―agar aytsanki, 
uchburchakli er uchastkasining ikki tomoni o‘n gazdan va asosi 12 gaz, uning ichida kvadrat 
shaklida er uchastkasi ajratish kerak. Kvadratning har bir tomoni aniqlansin. Buning qoidasi 
shunday: uchburchak balandligini aniqla, ya‘ni uning asosi yarmini ol, bu 6, uni o‘z-o‘ziga 
ko‘paytir, bu 36, uchburchak qisqa tomonlarining birini o‘z-o‘ziga ko‘paytmasidan, ya‘ni yuzdan 
ayir, bu 64 bo‘ladi, bundan ildiz chiqar, 8 bo‘ladi. Bu balandlik. Uchburchak yuzini topish uchun 
balandlikni asosning yarmiga, ya‘ni 6 ga ko‘paytir, bu 48 bo‘ladi. Kvadratning bir tomonini narsa 
deb qabul qilamiz, uni o‘z-o‘ziga ko‘paytiramiz, kvadrat hosil bo‘ladi, buni esda saqlaymiz. 
So‘ngra, bilamizki, bunda kvadratning tomonlarida ikki uchburchak va uning ustida bir uchburchak 
qoladi. Kvadrat tomonlarida joylashgan uchburchaklar teng bo‘ladi, chunki ularning baladliklari 
teng va ular to‘g‘ri burchakli uchburchaklardir. Ularning yuzlari shundayki, oltidan narsaning 
yarmini ayirib, narsaga ko‘paytirgin, kvadratning yarmi ayrilgan olti narsa hosil bo‘ladi, bu 
kvadratning tomonlarida joylashgan uchburchaklarning umumiy yuzi bo‘ladi. Yuqoridagi 
uchburchak yuziga kelganda, sakkizdan narsani, ya‘ni balandlikdan ayirib, narsaning yarmiga 
ko‘paytir, kvadratning yarmi ayrilgan to‘rt narsa hosil bo‘ladi. Bularning hammasini, ya‘ni kvadrat 
yuzi va uchta uchburchak yuzlarini qo‘shamiz. Hosil bo‘ladi: 89 narsa 48 ga teng, bu esa katta 
uchburchak yuzi bo‘ladi. Shuning uchun bitta narsa to‘rt va beshdan to‘rt gazga teng. Kvadratning 
hamma tomonlari shunday bo‘ladi. Mana uning shakli (8-shakl) 
C 
M 
N 
A K F L B 
Bu masala teng yonli uchburchakka ichki chizilgan kvadrat tomonini aniqlashdan iborat 
bo‘lib, uning yuqorida bayon etilgan echish usulini quyidagicha ifodalash mumkin: ABC 
uchburchakda AB=12, AC=CB=10 Balandlik 
8
64
36
100
6
10
2
2






