Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

CF
h
Katta uchburchakning yuzi 
48
8
12
2
1




Q
. Kvadratning yuzi x
2
, ikki yonidagi 
uchburchaklar yuzlari 
4
3
2
6
2
1
2
x
x
x
x








 
bo‘ladi. Yuqorida joylashgan kichik uchburchakning 
yuzi 
2
2
1
4
)
8
(
2
1
x
x
x
x




. Demak, uchburchakning yuzi uning hosil bo‘lgan to‘rtta shakl 
yuzlarining yig‘indisiga teng: 
2
2
2
2
1
4
4
3
4
3
48
x
x
x
x
x
x
x

























; 
Bundan 
48-10x, 
5
4
4
10
48


x
(kvadratning tomoni) 
Yunon geometrigi Geron bu masalani, ya‘ni teng yonli uchburchakka ichki chizilgan 
kvadrat tomonini uchburchaklarning o‘xshashligidan foydalanib, bunday echgan (8-shakl). AB=12,
BC=10, u vaqtda baladlik CF=8, bunda MCN va ABC uchburchaklarning o‘xshashligidan: 
8
8
12
x
x


; bundan 
5
4
4
20
96
12
8
12
8





x
. 
X 

---

87 
Xorazmiy aylana va doirani o‘lchash haqida yozadi: ―Har bir doira shundayki, agar uning 
diametrini uch va ettidan birga ko‘paytirsak, uni chegaralangan aylananing uzunligi hosil bo‘ladi‖. 
Ya‘ni aylana uzunligi L va diametri d bo‘lsa: 
d
L
7
1
3

. 
Bundan tashqari, Xorazmiy aylana uzunligini yana ikki xil topish mumkinligini yozadi: 
d
L
10

va 
d
L


20000
32832
Demak, Xorazmiy π soni uchun uch xil qiymatni 
16227
,
3
10



,
1428
,
3
7
1
3



,
1416
,
3
20000
328321



oladi va ularning taqribiy ekanligini uqtiradi. 
Bunda 
7
1
3


qiymat Arximed asarlarida, 
10


hind matematigi Braxmagupta (VII 
asr) va 
20000
328321


hind matematigi Ariabxatta (V asr) asarida uchraydi. 
Har bir doira shundayki, deb yozadi Xorazmiy, uning diametrining yarmi bilan aylanasi 
uzunligi ko‘paytmasining yarmi uning yuzini beradi, ya‘ni 
2
2
L
d
S


. Doira yuzini topish uchun 
Xorazmiy 
quyidagi 
ko‘rinishda 
ifodalash 
mumkin 
bo‘lgan 
qoidani 
keltiradi: 
2
2
2
2
14
11
7
1
2
1
7
1
d
d
d
d
S






Xorazmiy doira sigmentining yuzini topish uchun ham qoidalar beradi. Bu qoidalarni 
shunday ifodalash mumkin: agar sigment yuzi G, yoyi Q, vatari uzunligi a, diametri d, sigment 
balandligi 
uchun 
2
2
2
2
a
h
d
Q
d
G






 



va 
yarim 
doiradan 
katta 
sigment 
uchun: 
2
2
2
2
Q
h
d
Q
d
G






 



bo‘ladi, bundan 
h
h
Q
d


4
2
shaklida aniqlanadi. 
Xorazmiy bu asarida jismlarning hajmlarini topish uchun ham qoidalar beradi. To‘g‘ri 
prizma, piramida, stilindr, konus hajmlarini aniqlaydi. Asoslari berilgan kvadratlardan iborat va 
balandligi ma‘lum bo‘lgan kichik piramida hajmini aniqlaydi. 
Yuqorida bayon etilgan masalalarni o‘z ichiga olgan geometrik bo‘lim, kishilarning 
turmush ehtiyojlarini qondirishga zarur bo‘lgan bir qancha amaliy masalalarni hal etishda muhim 
rol o‘ynagan. Shu sababli bu asardan qo‘llanma sifatida foydalanganlar. 
Xorazmiy kvadrat tenglamaning manfiy ildizini, shuningdek mavhum ildizlarini e‘tiborga 
olmaydi. 
Xorazmiy algebraik risolasida meros taqsimlashga doir ko‘p masalalar ham keltiradi. U 
har bir masalani arifmetik foidalarga asosan yoki tenglamalar tuzib, bularni echish orqali hal etishni 
ko‘rsatadi. 
Bu bo‘limda Islom xuquqi normalariga qarab, merosxo‘rlar o‘rtasida mulk taqsimlash 
bo‘yicha 60 dan ortiq har xil masalalarni tenglamalar yordamida echish usullari ko‘rsatiladi. Bu 
masalalarni to‘rt gruppaga bo‘lish mumkin, birinchi gruppa masalalari 
0


by
ax
shaklidagi 
aniqmas tenglamaga keltiriladi va ularning butun echimlari topiladi. Ikkinchi gruppa masalalari 
d
by
ax


ko‘rinishdagi tenglamaga, uchinchi gruppa masalalari bir noma‘lumli ax=b tenglama 
shakliga keltiriladi va hal etiladi. To‘rttinchi gruppa masalalari esa arifmetik usulda hal etiladi 
Demak, Xorazmiy matematika tarixida birinchi bo‘lib algebra fanidan kitob yozdi va o‘z 
kitobida kvadrat tenglamalarning klassifikastiyasini berdi. Xorazmiygacha kvadrat tenglamalarni 
echish uchun umumiy qoida bo‘lmagan. Xorazmiy birinchi bo‘lib, bunday qoidani berdi, isbotini 
ko‘rsatdi. Xorazmiy algebra fanini asoslovchi matematik olim bo‘lib, algebrani al-jabr val-
muqobala hisoblashlaridan iborat fan deb hisoblanadi. 

---

88 
XI asrda yashagan mashhur matematik Umar Xayyom Xorazmiyning fikrlarini dvom 
ettirib, o‘zinng algebradan yozgan asarlrida alebra tenglamalarni echish haqidagi fan deb t‘rifberadi. 
Hozirgi zamon algebrasi – algebraik ko‘p hadliklar haqidagi ta‘limot chegarasidan chiqib, 
ancha kengaygan bo‘lsa ham, ko‘p asrlar davomida va hozir ham algebra, asosan tenglamalar 
echish masalalari bilan shug‘ullanadi. 
B.A.Rezenfeldning arab tilidagi qo‘lyozmaning fotonusxasidan rus tiliga qilgan tarjimasi, 
Xorazmiyning arifmetik asari bilan birgalikda qilgan tarjimasi, Xorazmiyning arifmetik asari bilan 
birgalikda 1961 yilda Toshkentdagi ―Fan‖ nashriyotida ―Matematicheskie traktati‖ nomi bilan 
bosilib chiqdi. 
Xorazmiyning algebraik asaridan keyin Sharqda algebra fani keng taraqqiy etadi. Masalan, 
X-XI asrlarda abbul Vafo Xorazmiyning algebrasini to‘ldirib, yangi usullar kiritish bilan alohida 
asarlar yozadilar. Umar Xayyom esa Xorazmiy asarini taraqqiy ettirib, o‘zining algebraga doir 
asarida, uchinchi darajali tenglamalarni geometrik echish usulini bayon etadi. Xorazmiydan keyin 
O‘rta asr Sharq olimlari, Xorazmiyning algebrasini taraqqiy ettirish va rivojlantirish bilan 
matematikaga o‘z xissalarini qo‘shadilar va natijada Sharqda algebra bir xil sistemada bayon 
etiladigan matematik fan sifatida shakllanib, takomillashadi. 
Xorazmiyning algebraik asari, asosan, uch bo‘limdan iborat bo‘lib: birinchi bo‘limda al-
jabr va al-muqobala yordamida birinchi va ikkinchi darajali bir noma‘lumli tenglamalarni echish, 
rastional va irrastional ifodalar bilan amallar bajarish hamda tenglama yordamida sonli masalalarni 
echish yo‘llari beriladi. Ikkinchi bo‘lim geometriyaga tegishli bo‘lib, bunda miqdorlarni o‘lchashga 
doir masalalarga algebraning ba‘zi bir tatbiqlari ko‘rsatiladi. Uchinchi bo‘limda algebraning amaliy 
tatbiqi, ya‘ni meros bo‘lishga doir masalalar beriladi. 
Muhammad Xorazmiy algebraik asarining kirish qismida fan taraqqiyotiga o‘tmishdagi 
olimlarning qo‘shgan xissasi, o‘z asarining ahamiyatini gapirib, uning algebra va al-muqobala 
haqidagi qisqacha kitobi arifmetikaning sodda va murakkab masalalarini o‘z ichiga olganligini va 
ular meros ulashish, vasiyat tuzish, mol dunyo taqsimlash uchun va sud hamda savdo ishlarida, er 
o‘lchashlarda, kanallar o‘tkazish va yuza o‘lchashlarda zarurligini ta‘kidlaydi. 
Xaqiqatdan, Xorazmiy asari, o‘z mazmuni bilan nazariyaning elementlarini o‘z ichiga 
olgan amaliy matematikaning bir qismidir. 
Xorazmiy o‘z algebrasida uch xil miqdorlar bilan amallar bajaradi, bular ildizlar, 
kvadratlar va oddiy son. So‘ng bu miqdorlarning har biriga tushuncha beradi. Ildiz – har qanday 
noma‘lum narsa; kvadrat ildizning o‘zini-o‘ziga ko‘paytmasi; oddiy son – ildizga va kvadratga 
tegishli bo‘lmagan har qanday son. 
Xorazmiy shu uch ko‘rinishdagi miqdorlarni ikkitadan bir-biriga teng bo‘lishida quyidagi 
uch xil ko‘rinishdagi munosabatni tuzish mumkin deb, aytadi. 
1)
kvadratlar ildizlarga teng: ax
2
=bx 
2)
kvadratlar songa teng: ax
2
=c 
3)
ildizlar songa teng: bx=c 
Yuqoridagi birinchi darajali bir noma‘lumli va chala kvadrat tenglamalarni echish 
qoidasini ko‘rsatgandan so‘ng u, shunday iboralar bilan quyidagi to‘la kvadrat tenglamalarni 
ko‘rsatadi. 
4)
kvadrat va ildizlar songa teng: ax
2
+bx=c 
5)
kvadratlar va son ildizlarga teng: ax
2
+c=bx 
6)
ildizlar va son kvadratlarga teng: bx+c=ax
2
; bundagi a, b va c lar musbat sonlar. 
Shu tipdagi kvadrat tenglamalarning musbat ildizini topish qoidasi IV-VI boblarda 
koefistientlari son bo‘lgan tenglamalarni echish bilan hal qilinadi va bu qoidaning to‘g‘ri ekanligi 
geometrik metod bilan VII-X boblarda isbot qilinadi. 

---

89 
Shu davrda manfiy son haqida tushuncha bo‘lmaganligi uchun Xorazmiy tenglamalarni 
yuqori ko‘rsatilgan olti xil musbat koefistientli sodda ko‘rinishda klassifikastiya qiladi va ularning 
musbat echimini topishni ko‘zda tutadi. Shu tartibda klassifikastiya qilishni Xorazmiydan keyingi 
davrlarda O‘rta asr Sharq matematiklari sobit ibn Qurra, Abu komil, Hosib Karxiy, umar Xayyom 
va Jamshid Koshiylar tomonidan yozilgan asarlarda ham ko‘rish mumkin. 
Xorazmiy asarining noimdagi ―Al-Jabr va al-Muqobala‖ iborasiga uning zamondoshlari va 
undan keyingi Sharq olimlari ham izoh bera boshlaydilar. Nihoyat O‘rta asr Sharq matematiklari 
bu iborani quyidagicha talqin qiladilar: ―al-jabr‖ (―tiklash‖) – shunday operastiyaki, uning 
yordamida, agar tenglamada ayriluvchi had ishtirok etsa, miqdor jihatdan unga teng bo‘lgan hadni 
tenglamaning ikkala qismiga qo‘shish bilan ayiriluvchi hadni tenglamaning ikkinchi tomoniga 
qo‘shiluvchi qilib o‘tkaziladi. ―Al-muqobala‖ (―ro‘para qo‘yish‖) – operastiyasi yordamida 
tenglamaning ikkala qismida bir xil jinsli (o‘xshash) had bo‘lsa, bularning umumiy qismi 
tashlanadi. 
Demak, al-jabr va al-muqobala operastiyalari yordamida berilgan tenglamani yuqorida 
ko‘rsatilgan oltita ko‘rinishdagi manfiy had ishtirok etmagan sodda tenglmaga keltiriladi.