Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

AB
va 
10

AC
desak, (10-shakl), SB= 200 -10 bo‘ladi. So‘ng B nuqtadan 
BD=2AC=2·10=20 kesma chiziladi. BD kesmadan BE=AB= 200 kesma ajratilsa, DE=BD-
BE=20- 200 bo‘ladi. BE kesmaga CB=BF= 200 -10 kesma qo‘yilsa, bu holda EF=10 va 
DE+BF=BD-EF=20-10-10 bo‘ladi, ikkinchi tomondan: DE+BF=10 yoki ( 200 -10) +(20-
200 )=10. demak, ( 200 -10)+(20- 200 )= 200 - -10+20- 200 =10, ya‘ni bu ikki ifodaning 
yig‘indisi o‘nga teng ekanligi shakl yordamida isbotlandi. 

---

84 
Xorazmiy o‘zi talqin qilgan algebraik va arifmetik amallarni olti bobda bayon qilganidan 
keyin, ularni tushuntirish maqsadida hamda al-Jabr va al-Muqobala qoidasini tushuntirish uchun 
konkret misollar keltiradi. Xorazmiy 100+x
2
-20x va 50+10x-2x
2
ko‘rinishdagi bir jinssiz ifodalarni 
bir-biriga qo‘shish geometrik shaklsiz ham oson ekanligini uqtirib, bu ifodalarni qo‘shishni so‘z 
orqali shunday bajaradi:
(100+x
2
-20x)+(50+10x-2x
2
)=(100+x
2
-20x)+(50+10x)-2x
2
=150+x
2
-10x-2x
2
=150-x
2
- -10x 
A 
C 
D E F
B 10-shakl 
Xorazmiy algebraik ifodalar ustida amallar bajarish bobidan so‘ng yuqorida ko‘rsatilgan 
olti tipdagi tenglamalarga keltiriladigan va proporstiya yordamida echiladigan sonli masalalarni 
echish qoidasini beradi. Masalan, ―Sen uchdan bir narsa va dirhamni to‘rtdan bir narsa va dirhamga 
ko‘paytirsang yigirmaga teng bo‘ladi‖. Bizning belgilarda ushbu tenglama hosil bo‘ladi: 
20
1
4
1
3






 






 
x
x
(1') 
(1') tenglamaning chap qismi hadma-had ko‘paytirilib bunday ko‘rinishda yoziladi: 
20
1
4
3
12
2




x
x
x
(2') 
(2') ga al-muqobala operastiyasi qo‘llanilsa: 
19
4
3
12
2



x
x
x
(3') 
(3') ni kasrdan qutqazib ixchamlansa, IV tur tenglamaga keladi. x
2
+4x+3x=228 yoki
x
2
+7x=228 (4') 
(4') 
tenglamaning 
ildizi 
quyidagi 
formula 
bo‘yicha 
topiladi: 
12
2
1
3
2
1
15
2
7
4
1
240
2
7
228
4
1
12
2
7
228
2
7
2
2
2
2


























b
c
b
x
Demak, izlangan ―narsa‖ x=12 ekan. 
Amaliy masalalar ichida, odamlar o‘rtasida pul yoki g‘allani taqsimlashda odamlarning 
sonini topishga doir masalalar shu sonning bo‘lagini topish usuli bilan hal qilinadi. Masalan, ―Sen 
odamlar o‘rtasida dirhamni bo‘l, ularning har biriga ma‘lum narsa tegadi, agar bu odamlarga yana 
bir odam qo‘shilsa, har biriga tegadigan narsa birinchi galdagidan oltidan biriga kam bo‘ladi. 
Buning qoidasi bunday bo‘ladi‖-deb Xorazmiy masala shartidan tenglama tuzadi va uni ochadi. 
Odamlar sonini x bilan har bir kishiga tegadigan ―narsa‖ ni 
x
1
va bir odam qo‘shilgandan 
so‘ng har bir kishiga tegadigan ―narsa‖ ni 
1
1

x
bilan belgilab, masala sharti bo‘yicha 
6
1
1
1
1



x
x
(1'') tenglama tuzadi. (1'') tenglamani echish uchun uning shaklini aynan 
o‘zgatiradi: 
6
1
)
1
(
1




x
x
x
x
yoki 
1
)
1
(
)
1
(
6
1






x
x
x
x
(2'')
(2'') ni qavsni ochib kasrdan qutqarilsa, IV tur tenglama hosil bo‘ladi: 
1
6
1
6
1
2


x
x
yoki x
2
+x=6 (3'')

---

85 
(3'') tenglamaning musbat ildizi quyidagi formula bo‘yicha topiladi: 
2
2
1
2
1
2
2
1
4
1
6
2
1
6
4
1
2
1
6
2
1
2
2
2
2


























b
c
b
x
Demak, dastlab dirhamni bo‘lishga ikki kishi qatnashgan.