Мавзу: Математика фанининг тарихи, методи ва метадалогияси

c
b
b
x













 
2
2
2
2
, bundan
c
b
b
x









2
2
2
, yoki
c
b
b
x









2
2
2
. Demak, DB tomoni, ya‘ni x=7 bo‘ladi. 
6. ―Ildizlar va son kvadratlarga teng‖, ya‘ni bx+c=ax
2
. bunday kvadrat tenglamani, 
masalan 3x+4=x
2
bo‘lgan holda echish uchun Xorazmiy shunday qoida beradi: ― Ildizlar sonini 
ikkiga bo‘l, bir yarim bo‘ladi, buni o‘z-o‘ziga ko‘paytir, ikki va chorak bo‘ladi. Bundan ildiz chiqar, 
ikki yarim bo‘ladi, buni ildizlar sonining yarmiga, ya‘ni bir yarimga qo‘sh, 4 bo‘ladi. Mana shu 
kvadratning ildizidir. Kvadratning o‘zi 16 bo‘ladi‖. 
Agar tenglamada kvadratning soni birdan ortiq bo‘lsa yoki birdan kam bo‘lsa, bu hollarni 
Xorazmiy ―bitta kvadrat holiga keltirib‖ yuqoridagi qoida bo‘yicha echish kerak deb yozadi.
Hozirgi belgilashlarga asosan bu qoidani 
c
b
b
x









2
2
2
ko‘rinishida ifodalash mumkin. 
bx+c=x
2
shaklidagi tenglamani masalan, 3x+4=x
2
tenglamani ham Xorazmiy geometrik usul bilan 
quyidagicha echadi: tomoni noma‘lum bo‘lgan kvadrat yasaydi (5-shakl) 
M 
B 
A 
E 
H 
D C 
5-Shakl 
Ac tomonida CE=b kesma ajratadi. EC ga teng CD ni oladi. U vaqtda AEBG yuzi = x(x-
b)=c bo‘ladi. EC ni H nuqtaga teng ikkiga bo‘lib EF kvadratni yasaydi, uning yuzi 
2
2






b
ga teng 
bo‘ladi. HL da FL=AE ni olib AHML kvadratni yasaydi. U vaqtda AHML yuzi = EHKF yuzi + 
AEBG yuzi yoki 
c
b
b
x













 
2
2
2
2
bo‘ladi. Bundan 
c
b
b
x









2
2
2
yoki
c
b
b
x









2
2
2
hosil bo‘ladi. Agar yuqoridagi tenglama ildizlarining mos qiymatlarini e‘tiborga olsak, x=4 kelib 
chiqadi. Demak, hosil bo‘lgan kvadratning tomoni AC=x bo‘lib, kvadratning ildizi aniqlanadi. 
Xorazmiy,
0
2



c
bx
ax
umumiy ko‘rinishdagi kvadrat tenglamalarni echish ustida 
maxsus to‘xtalmagan. Lekin u 
c
bx
ax


2
ko‘rinishdagi tenglama uchun keltirilgan qoidasini 
umumlashtirsak, quyidagini aytish mumkn. U bunday tenglamalarda avval x
2
ning koefistientini 
birga keltiradi, ya‘ni uni keltirilgan tenglama shaklida yozadi. 
Keltirilgan kvadrat tenglama esa uning bayon etgan qoidalarining biri bo‘yicha echilishi 
mumkinligini yozadi. 
Ya‘ni Xorazmiy
0
2



c
bx
ax
yoki 
0
2



a
c
x
a
b
x
tenglama ildizlarini topish 
uchun
a